Back to the topics list

algebra

Algebra volgt alle regels van de rekenkunde. Het gebruikt dezelfde vier bewerkingen waarop de rekenkunde is gebaseerd, namelijk optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.

Maar Algebra introduceert één nieuw element. Het element van het "onbekende" . Onbekende waarden worden in Algebra vervangen door variabelen. Variabelen kunnen worden weergegeven als letters zoals x, y en z.

Constante en variabele

Een constante verandert niet in de loop van de tijd en heeft een vaste waarde. Bijvoorbeeld, 2, 6, 1212, pi. Variabelen zijn waarden die in de loop van de tijd kunnen veranderen. Bijvoorbeeld, de temperatuur op verschillende tijdstippen van de dag vertegenwoordigt een variabele. Het gewicht van een student in jouw klas is een variabele, omdat het van student tot student verschilt.

Voorbeeld: In 2x is 2 een constante en x een variabele. In 4 + xy is 4 een constante en zijn x en y variabelen.

Algebraïsche uitdrukking

Een algebraïsche uitdrukking is een combinatie van de constanten en de variabelen die verbonden zijn door enkele of alle vier fundamentele bewerkingen (+, −, ×, ÷). Bijvoorbeeld, 2x + 10y + 3 is een algebraïsche uitdrukking. Laten we proberen een algebraïsche uitdrukking te maken voor de volgende bewering:
"Gisteren heb je x wiskundevragen opgelost. Vandaag heb je 10 vragen minder gedaan. Hoeveel vragen heb je vandaag opgelost?"
De algebraïsche uitdrukking die het aantal vragen verklaart dat u vandaag hebt opgelost, is x−10.

Als 4 een constante is en z een variabele, dan - Wat krijg je als je 4 keer z vermenigvuldigt? Wat krijg je als je 4 bij z optelt? Antwoord: 4×z en 4+z zijn ook variabelen. Omdat een combinatie van een constante en een variabele ook een variabele is.

Algebraïsche vergelijking

In de rekenkunde schrijven we 2 + 3 = ?

In de algebra wordt hetzelfde geschreven als 2 + 3 = x

Hier wordt ? vervangen door een onbekende variabele 'x' .

De bovenstaande uitdrukking '2 + 3 = x' wordt ' algebraïsche vergelijking ' genoemd.

Een gelijkteken betekent dat de waarde van de linkerzijde gelijk is aan de waarde van de rechterzijde. We kunnen ook zeggen dat het een gebalanceerde vergelijking is.

In de algebraïsche vergelijking vinden we de waarde van een variabele. Een variabele is een symbool voor een getal dat we nog niet kennen. 'x' is een variabele in vergelijking 2 + 3 = x. En 2, 3 zijn constant.

Laten we de variabelen eens beter begrijpen aan de hand van een paar voorbeelden.
Studenten kopen notitieboekjes in een boekwinkel. Een notitieboekje kost $5. Als n het aantal notitieboekjes is dat de student wil kopen, dan kan n de waarde 1, 2, 3, enzovoort aannemen. En de student moet \(5n\) betalen voor n aantal boeken. De totale kosten van n notitieboekjes worden gegeven door de regel: Totale kosten van n boeken = 5 × n. Als ik 3 notitieboekjes koop, moet ik $ 15 ($ 5 × 3) betalen.

Laten we nog een voorbeeld nemen. Mary heeft 10 appels meer dan Jerry. Dus als Jerry 'm' aantal appels heeft, heeft Mary ' 10+m ' appels.
In beide gevallen is m een variabele . De algebraïsche uitdrukking voor beide is echter anders.
Laten we ook eens kijken hoe algemene regels in de wiskunde die we al hebben geleerd, worden uitgedrukt met behulp van variabelen.

• De omtrek van een vierkant met elke zijde van lengte l is 4l. De omtrek van het vierkant = 4l, hier is l een variabele.
• De omtrek van een rechthoek met lengte l en breedte w wordt uitgedrukt als Omtrek = 2l + 2w, waarbij l en w variabelen zijn.
  

Regels uit de rekenkunde

Commutativiteit van de optelling van twee getallen
We weten dat 3 + 4 = 4 + 3, dus x + y = y + x
Hierbij wordt de regel in generieke vorm uitgedrukt met behulp van de variabelen x en y.

Commutativiteit van de vermenigvuldiging van twee getallen
3 × 4 = 4 × 3, 33 × 23 = 23 × 33 (de volgorde in vermenigvuldiging verandert het resultaat niet), daarom kunnen we deze regel in variabelen schrijven als x × y = y × x of xy = yx

Distributiviteit van getallen
7 × 42 kan ook worden geschreven als \( 7\times(40 + 2) = 7 \times 40 + 7 \times 2 = 280 + 14 = 294\) , Als getallen worden vervangen door variabelen, kunnen we het als volgt schrijven:
\(x \times (y + z) = xy + xz\)

Associativiteit van getallen
Omdat ( \(6+3) + 4 = 6 + (3 + 4)\) kunnen we dus generiek schrijven \((x + y) + z = x + (y + z )\)
Op dezelfde manier geldt: \((x \times y) \times z = x \times (y \times z)\)

Oplossing van een vergelijking

Om de algebraïsche vergelijking op te lossen, verplaatst u onbekende waarden naar de ene kant en bekende waarden naar de andere kant. Laten we een voorbeeld nemen en proberen de waarde van x te vinden.

Voorbeeld 1:
\(x -2 = 3\)
Voeg 2 toe aan beide kanten. Let op dat optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen door hetzelfde getal aan beide kanten van de vergelijking geen invloed hebben op de balans van de vergelijking, en '=' blijft gelden. dwz Linkerkant = Rechterkant

\(x - 2 + 2 = 3 + 2\)

⇒ \(x = 5\)

Voorbeeld 2:
Los onderstaande algebraïsche vergelijking voor x op: \(x + 2 = 6\)
2 aftrekken van beide kanten. Op deze manier volgen we de regel om één kant alleen met onbekende en de andere kant met bekende waarden te hebben.

\(x + 2 - 2 = 6 - 2\)

⇒ \(x = 4\)

Voorbeeld 3:

\(4 \times x = 20\)

Deel beide zijden door 4

\(\frac{4 \times x}{4} = \frac{20}{4}\)

⇒ \(x = 5\)

Voorbeeld 4:

\( \frac{x}{3}\) = 5

Vermenigvuldig beide zijden met 3

\(\frac{x}{3} \times 3 = 5 \times 3\)

⇒ \(x = 15\)

Houd er rekening mee dat een algebraïsche vergelijking meer dan één variabele kan hebben.