Back to the topics list

алгебра

Алгебра следует всем правилам арифметики. Она использует те же четыре операции, на которых основана арифметика, то есть сложение, вычитание, умножение и деление.

Но алгебра вводит один новый элемент. Элемент «неизвестного» . Неизвестные значения заменяются переменными в алгебре. Переменные могут быть представлены буквами, такими как x, y и z.

Постоянная и переменная

Константа не меняется со временем и имеет фиксированное значение. Например, 2, 6, 1212, pi. Переменные — это значения, которые могут меняться со временем. Например, температура в разное время суток представляет собой переменную. Вес ученика в вашем классе — это переменная, поскольку он варьируется от ученика к ученику.

Пример: В 2x, 2 — константа, а x — переменная. В 4 + xy, 4 — константа, а x и y — переменные.

Алгебраическое выражение

Алгебраическое выражение — это комбинация констант и переменных, связанных некоторыми или всеми четырьмя фундаментальными операциями (+, −, ×, ÷). Например, 2x + 10y + 3 — это алгебраическое выражение. Давайте попробуем создать алгебраическое выражение для следующего утверждения:
«Вчера вы решили x математических задач. Сегодня вы решили на 10 задач меньше. Сколько задач вы решили сегодня?»
Алгебраическое выражение, объясняющее количество вопросов, решенных вами сегодня, имеет вид х−10.

Если 4 — константа, а z — переменная, то — Что получится, если умножить z на 4? Что получится, если прибавить 4 к z? Ответ: 4×z и 4+z также являются переменными. Потому что комбинация константы и переменной также является переменной.

Алгебраическое уравнение

В арифметике мы записываем 2 + 3 = ?

В алгебре то же самое запишется как 2 + 3 = x

Здесь ? заменяется неизвестной переменной 'x' .

Выражение выше «2 + 3 = x» называется « Алгебраическим уравнением ».

Знак равенства означает, что значение левой части равно значению правой части, или можно сказать, что это сбалансированное уравнение.

В алгебраическом уравнении мы находим значение переменной. Переменная — это символ для числа, которое мы пока не знаем. «x» — это переменная в уравнении 2 + 3 = x. А 2, 3 — константы.

Давайте разберемся с переменными, рассмотрев несколько примеров.
Студенты покупают тетради в книжном магазине. Тетрадь стоит 5 долларов. Если n — это количество тетрадей, которые студент хочет купить, то n может принимать значения 1, 2, 3 и т. д. И студент должен заплатить \(5n\) цену за n книг. Общая стоимость n тетрадей определяется по правилу: Общая стоимость n книг = 5 × n. Если я куплю 3 блокнота, то мне придется заплатить 15 долларов (5 долларов × 3).

Давайте рассмотрим еще один пример. У Мэри на 10 яблок больше, чем у Джерри. Так что если у Джерри есть 'm' яблок, у Мэри есть '10+m ' яблок.
В обоих случаях m — переменная . Однако алгебраическое выражение для обоих случаев различно.
Давайте также посмотрим, как общие правила математики, которые мы уже изучили, выражаются с помощью переменных.

• Периметр квадрата со стороной l равен 4l. Периметр квадрата = 4l, здесь l — переменная.
• Периметр прямоугольника длиной l и шириной w выражается как Периметр = 2l + 2w, где l и w — переменные.
  

Правила арифметики

Коммутативность сложения двух чисел
Мы знаем, что 3 + 4 = 4 + 3, поэтому x + y = y + x
Это выражение правила в общей форме с использованием переменных x и y.

Коммутативность умножения двух чисел
3 × 4 = 4 × 3, 33 × 23 = 23 × 33 (порядок умножения не меняет результат), поэтому мы можем записать это правило в переменных как x × y = y × x или xy = yx

Распределяемость чисел
7 × 42 можно также записать как \( 7\times(40 + 2) = 7 \times 40 + 7 \times 2 = 280 + 14 = 294\) , если числа заменить переменными, то мы можем записать это так:
\(x \times (y + z) = xy + xz\)

Ассоциативность чисел
Так как ( \(6+3) + 4 = 6 + (3 + 4)\) то мы можем в общем виде записать \((x + y) + z = x + (y + z )\)
Аналогично, \((x \times y) \times z = x \times (y \times z)\)

Решение уравнения

Чтобы решить алгебраическое уравнение , переместите неизвестные значения в одну сторону, а известные значения в другую сторону. Давайте рассмотрим пример и попробуем найти значение x.

Пример 1:
\(x -2 = 3\)
Добавьте 2 к обеим сторонам. Обратите внимание, что сложение, вычитание, умножение и деление на одно и то же число с обеих сторон уравнения не влияют на балансировку уравнения, и '=' по-прежнему остается верным. То есть левая сторона = правая сторона

\(x - 2 + 2 = 3 + 2\)

⇒ \(x = 5\)

Пример 2:
Решите следующее алгебраическое уравнение относительно x: \(x + 2 = 6\)
Вычитаем 2 из обеих сторон. Таким образом, мы следуем правилу, чтобы одна сторона имела только неизвестные значения, а другая — только известные.

\(x + 2 - 2 = 6 - 2\)

⇒ \(x = 4\)

Пример 3:

\(4 \times x = 20\)

Разделите обе части на 4.

\(\frac{4 \times x}{4} = \frac{20}{4}\)

⇒ \(x = 5\)

Пример 4:

\( \frac{x}{3}\) = 5

Умножьте обе части на 3.

\(\frac{x}{3} \times 3 = 5 \times 3\)

⇒ \(x = 15\)

Обратите внимание, что алгебраическое уравнение может иметь более одной переменной.