Back to the topics list

algjebër

Algjebra ndjek të gjitha rregullat e aritmetikës. Ai përdor të njëjtat katër veprime mbi të cilat bazohet aritmetika, p.sh. mbledhje, zbritje, shumëzim dhe pjesëtim.

Por Algjebra prezanton një element të ri. Elementi i "të panjohurës" . Vlerat e panjohura zëvendësohen me variabla në Algjebër. Variablat mund të përfaqësohen si shkronja si x, y dhe z.

Konstante dhe e ndryshueshme

Një konstante nuk ndryshon me kalimin e kohës dhe ka një vlerë fikse. Për shembull, 2, 6, 1212, pi. Variablat janë vlera që mund të ndryshojnë me kalimin e kohës. Për shembull, temperatura në periudha të ndryshme të ditës përfaqëson një variabël. Pesha e një studenti në klasën tuaj është një variabël, pasi ndryshon nga studenti në student.

Shembull: Në 2x, 2 është një konstante dhe x është një ndryshore. Në 4 + xy, 4 është një konstante, dhe x dhe y janë ndryshore.

Shprehje Algjebrike

Një shprehje algjebrike është një kombinim i konstanteve dhe ndryshoreve të lidhura nga disa ose të gjitha katër operacionet themelore (+, −, ×, ÷). Për shembull, 2x + 10y + 3 është një shprehje algjebrike. Le të përpiqemi të krijojmë një shprehje algjebrike për pohimin e mëposhtëm:
"Ju keni zgjidhur pyetjet e matematikës x dje. Sot keni bërë 10 pyetje më pak. Sa pyetje keni zgjidhur sot?"
Shprehja algjebrike që shpjegon numrin e pyetjeve të zgjidhura nga ju sot është x−10.

Nëse 4 është një konstante dhe z është një ndryshore, atëherë - Çfarë përfitoni nëse shumëzoni 4 herë z? Çfarë përfitoni nëse shtoni 4 në z? Përgjigje: 4×z dhe 4+z janë gjithashtu variabla. Sepse një kombinim i një konstante dhe një ndryshoreje është gjithashtu një ndryshore.

Ekuacioni algjebrik

Në aritmetikë shkruajmë 2 + 3 = ?

Në algjebër e njëjta gjë do të shkruhet si 2 + 3 = x

Këtu ? zëvendësohet nga një ndryshore e panjohur 'x' .

Shprehja e mësipërme '2 + 3 = x' quhet ' Ekuacion Algjebrik '.

Një shenjë e barabartë tregon se vlera e anës së majtë është e barabartë me anën e djathtë ose mund të themi se është një ekuacion i balancuar.

Në ekuacionin algjebrik, gjejmë vlerën e një ndryshoreje. Një ndryshore është një simbol për një numër që nuk e dimë ende. 'x' është një variabël në ekuacionin 2 + 3 = x. Dhe 2, 3 janë konstante.

Le të kuptojmë variablat duke marrë disa shembuj.
Nxënësit blejnë fletore nga një librari. Një fletore kushton 5 dollarë. Nëse n është numri i fletoreve që studenti dëshiron të blejë, atëherë n mund të marrë vlerën si 1, 2, 3, e kështu me radhë. Dhe studenti duhet të paguajë \(5n\) çmimin për n numër librash. Kostoja totale e n fletoreve jepet nga rregulli: Kostoja totale e n librave = 5 × n. Nëse blej 3 fletore, atëherë duhet të paguaj 15 dollarë (5 × 3 dollarë).

Le të marrim edhe një shembull. Mary ka 10 mollë më shumë se Jerry. Pra, nëse Jerry ka 'm' numër mollësh, Maria ka '10+m ' mollë.
Në të dyja rastet, m është një variabël . Sidoqoftë, shprehja algjebrike për të dy është e ndryshme.
Le të shohim gjithashtu se si shprehen rregullat e zakonshme në matematikë që kemi mësuar tashmë duke përdorur variabla.

• Perimetri i një katrori me secilën anë të gjatësisë l është 4l. Perimetri i katrorit = 4l, këtu l është një ndryshore.
• Perimetri i një drejtkëndëshi me gjatësi l dhe gjerësi w shprehet si Perimetri = 2l + 2w, këtu l dhe w janë variabla.
  

Rregulla nga aritmetika

Komutativiteti i mbledhjes së dy numrave
Ne e dimë se 3 + 4 = 4 + 3, prandaj x + y = y + x
Kjo është duke shprehur rregullin në formë të përgjithshme duke përdorur variablat x dhe y.

Komutativiteti i shumëzimit të dy numrave
3 × 4 = 4 × 3, 33 × 23 = 23 × 33 (rendi në shumëzim nuk e ndryshon rezultatin), prandaj këtë rregull mund ta shkruajmë në ndryshore si x × y = y × x ose xy = yx

Shpërndarja e numrave
7 × 42 mund të shkruhet edhe si \( 7\times(40 + 2) = 7 \times 40 + 7 \times 2 = 280 + 14 = 294\) , nëse numrat zëvendësohen me variabla atëherë mund ta shkruajmë si:
\(x \times (y + z) = xy + xz\)

Asociativiteti i numrave
Si ( \(6+3) + 4 = 6 + (3 + 4)\) prandaj, në mënyrë gjenerike mund të shkruajmë \((x + y) + z = x + (y + z )\)
Në mënyrë të ngjashme, \((x \times y) \times z = x \times (y \times z)\)

Zgjidhja e një ekuacioni

Për të zgjidhur ekuacionin algjebrik , zhvendosni vlerat e panjohura në njërën anë dhe vlerat e njohura në anën tjetër. Le të marrim një shembull dhe të përpiqemi të gjejmë vlerën e x.

Shembulli 1:
\(x -2 = 3\)
Shtoni 2 në të dyja anët. Ju lutemi vini re se mbledhja, zbritja, shumëzimi dhe pjesëtimi me të njëjtin numër në të dy anët e ekuacionit nuk ndikojnë në balancimin e ekuacionit dhe '=' vazhdon të jetë e vërtetë. dmth Ana e majtë = Ana e djathtë

\(x - 2 + 2 = 3 + 2\)

⇒ \(x = 5\)

Shembulli 2:
Zgjidh ekuacionin algjebrik më poshtë për x: \(x + 2 = 6\)
Duke zbritur 2 nga të dyja anët. Në këtë mënyrë po ndjekim rregullin që njërën anë ta kemi vetëm me të panjohura dhe anën tjetër me vlera të njohura.

\(x + 2 - 2 = 6 - 2\)

⇒ \(x = 4\)

Shembulli 3:

\(4 \times x = 20\)

Ndani të dyja anët me 4

\(\frac{4 \times x}{4} = \frac{20}{4}\)

⇒ \(x = 5\)

Shembulli 4:

\( \frac{x}{3}\) = 5

Shumëzojini të dyja anët me 3

\(\frac{x}{3} \times 3 = 5 \times 3\)

⇒ \(x = 15\)

Ju lutemi vini re se një ekuacion algjebrik mund të ketë më shumë se një ndryshore.