Back to the topics list

cebir

Cebir, Aritmetiğin tüm kurallarını takip eder. Aritmetiğin dayandığı aynı dört işlemi kullanır, yani toplama, çıkarma, çarpma ve bölme.

Ama Cebir yeni bir unsur ortaya koyuyor. "Bilinmeyen" unsuru . Bilinmeyen değerler Cebir'de değişkenlerle değiştirilir. Değişkenler x, y ve z gibi harflerle gösterilebilir.

Sabit ve Değişken

Sabit bir sayı zamanla değişmez ve sabit bir değere sahiptir. Örneğin, 2, 6, 1212, pi. Değişkenler, zamanla değişebilen değerlerdir. Örneğin, günün farklı saatlerindeki sıcaklık bir değişkeni temsil eder. Sınıfınızdaki bir öğrencinin ağırlığı bir değişkendir, çünkü öğrenciden öğrenciye değişir.

Örnek: 2x'te 2 sabittir ve x değişkendir. 4 + xy'de 4 sabittir ve x ve y değişkenlerdir.

Cebirsel İfade

Cebirsel bir ifade, dört temel işlemden (+, −, ×, ÷) bazılarının veya tümünün bağladığı sabitler ve değişkenlerin birleşimidir. Örneğin, 2x + 10y + 3 bir cebirsel ifadedir. Aşağıdaki ifade için bir cebirsel ifade oluşturmayı deneyelim:
"Dün x tane matematik sorusu çözdün. Bugün 10 soru daha az çözdün. Bugün kaç soru çözdün?"
Bugün çözdüğünüz soru sayısını açıklayan cebirsel ifade şudur: x−10.

Eğer 4 sabit ve z değişken ise o zaman - 4 ile z'yi çarparsanız ne elde edersiniz? z'ye 4 eklerseniz ne elde edersiniz? Cevap: 4×z ve 4+z de değişkendir. Çünkü bir sabit ve bir değişkenin birleşimi de bir değişkendir.

Cebirsel Denklem

Aritmetikte 2 + 3 = ? şeklinde yazarız.

Cebirde aynısı 2 + 3 = x olarak yazılacaktır

Burada ? bilinmeyen bir değişken olan 'x' ile değiştirilmiştir .

Yukarıdaki '2 + 3 = x' ifadesine ' Cebirsel Denklem ' denir.

Eşittir işareti, denklemin sol tarafındaki değerin sağ tarafındaki değere eşit olduğunu gösterir; yani buna dengeli bir denklem diyebiliriz.

Cebirsel denklemde bir değişkenin değerini buluruz. Değişken , henüz bilmediğimiz bir sayının sembolüdür. 'x', 2 + 3 = x denklemindeki bir değişkendir. Ve 2, 3 sabittir.

Değişkenleri birkaç örnekle anlayalım.
Öğrenciler defterleri bir kitapçıdan satın alırlar. Bir defterin maliyeti 5 dolardır. Eğer n öğrencinin satın almak istediği defter sayısıysa, o zaman n 1, 2, 3 vb. gibi değerler alabilir. Ve öğrenci n sayıda kitap için \(5n\) fiyat ödemek zorundadır. n defterin toplam maliyeti şu kuralla verilir: n kitabın toplam maliyeti = 5 × n. Eğer 3 tane defter alırsam 15$ (5$ × 3) ödemem gerekiyor.

Bir örnek daha alalım. Mary'nin Jerry'den 10 tane fazla elması var. Yani eğer Jerry'nin 'm' sayıda elması varsa, Mary'nin '10+m ' tane elması vardır.
Her iki durumda da m bir değişkendir . Ancak her ikisinin de cebirsel ifadesi farklıdır.
Matematikte daha önce öğrendiğimiz ortak kuralların değişkenler kullanılarak nasıl ifade edildiğine de bakalım.

• Her bir kenarı l olan bir karenin çevresi 4l'dir. Karenin çevresi = 4l, burada l bir değişkendir.
• Uzunluğu l ve genişliği w olan bir dikdörtgenin çevresi şu şekilde ifade edilir: Çevre = 2l + 2w, burada l ve w değişkenlerdir.
  

Aritmetik kuralları

İki sayının toplanmasının değişmezliği
3 + 4 = 4 + 3 olduğunu biliyoruz, dolayısıyla x + y = y + x
Bu, kuralın x ve y değişkenlerini kullanarak genel bir biçimde ifade edilmesidir.

İki sayının çarpımının değişmezliği
3 × 4 = 4 × 3, 33 × 23 = 23 × 33 (çarpmadaki sıra sonucu değiştirmez), bu nedenle bu kuralı değişkenlerde x × y = y × x veya xy = yx olarak yazabiliriz

Sayıların dağılımı
7 × 42 ayrıca şu şekilde de yazılabilir \( 7\times(40 + 2) = 7 \times 40 + 7 \times 2 = 280 + 14 = 294\) , eğer sayılar değişkenlerle değiştirilirse bunu şu şekilde yazabiliriz:
\(x \times (y + z) = xy + xz\)

Sayıların birleştiriciliği
( \(6+3) + 4 = 6 + (3 + 4)\) olduğundan, genel olarak \((x + y) + z = x + (y + z )\) yazabiliriz
Benzer şekilde, \((x \times y) \times z = x \times (y \times z)\)

Bir Denklemin Çözümü

Cebirsel Denklemi çözmek için bilinmeyen değerleri bir tarafa, bilinen değerleri diğer tarafa taşıyın. Bir örnek alalım ve x değerini bulmaya çalışalım.

Örnek 1:
\(x -2 = 3\)
Her iki tarafa da 2 ekleyin. Lütfen denklemin her iki tarafındaki aynı sayı ile toplama, çıkarma, çarpma ve bölmenin denklemin dengesini etkilemediğini ve '=' işaretinin hala geçerli olduğunu unutmayın. Yani Sol Taraf = Sağ Taraf

\(x - 2 + 2 = 3 + 2\)

⇒ \(x = 5\)

Örnek 2:
Aşağıdaki cebirsel denklemi x için çözün: \(x + 2 = 6\)
Her iki taraftan 2 çıkarıyoruz. Bu şekilde, bir tarafın sadece bilinmeyen, diğer tarafın ise bilinen değerlere sahip olması kuralını izliyoruz.

\(x + 2 - 2 = 6 - 2\)

⇒ \(x = 4\)

Örnek 3:

\(4 \times x = 20\)

Her iki tarafı da 4'e bölün

\(\frac{4 \times x}{4} = \frac{20}{4}\)

⇒ \(x = 5\)

Örnek 4:

\( \frac{x}{3}\) = 5

Her iki tarafı 3 ile çarpın

\(\frac{x}{3} \times 3 = 5 \times 3\)

⇒ \(x = 15\)

Cebirsel bir denklemin birden fazla değişkene sahip olabileceğini lütfen unutmayın.