Back to the topics list

الجبرا

الجبرا ریاضی کے تمام اصولوں کی پیروی کرتا ہے۔ یہ وہی چار آپریشن استعمال کرتا ہے جن پر ریاضی کی بنیاد ہوتی ہے، یعنی اضافہ، گھٹاؤ، ضرب، اور تقسیم۔

لیکن الجبرا ایک نیا عنصر متعارف کراتا ہے۔ "نامعلوم" کا عنصر ۔ الجبرا میں نامعلوم اقدار کو متغیرات سے بدل دیا جاتا ہے۔ متغیرات کو x، y، اور z جیسے حروف کے طور پر دکھایا جا سکتا ہے۔

مستقل اور متغیر

ایک مستقل وقت کے ساتھ تبدیل نہیں ہوتا ہے اور اس کی ایک مقررہ قدر ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، 2، 6، 1212، pi. متغیرات وہ اقدار ہیں جو وقت کے ساتھ بدل سکتی ہیں۔ مثال کے طور پر، دن کے مختلف اوقات میں درجہ حرارت ایک متغیر کی نمائندگی کرتا ہے۔ آپ کے گریڈ میں طالب علم کا وزن ایک متغیر ہے، کیونکہ یہ طالب علم سے طالب علم میں مختلف ہوتا ہے۔

مثال: 2x میں، 2 ایک مستقل ہے اور x ایک متغیر ہے۔ 4 + xy میں، 4 ایک مستقل ہے، اور x اور y متغیر ہیں۔

الجبری اظہار

الجبری ایکسپریشن مستقل اور متغیرات کا مجموعہ ہے جو چار بنیادی آپریشنز (+, −, ×, ÷) میں سے کچھ یا تمام سے جڑے ہوئے ہیں۔ مثال کے طور پر، 2x + 10y + 3 ایک الجبری اظہار ہے۔ آئیے درج ذیل بیان کے لیے ایک الجبری اظہار بنانے کی کوشش کریں:
"آپ نے کل x ریاضی کے سوالات حل کیے تھے۔ آج آپ نے 10 سوال کم کیے ہیں۔ آج آپ نے کتنے سوال حل کیے ہیں؟"
الجبری اظہار جو آج آپ کے حل کیے گئے سوالات کی تعداد کی وضاحت کرتا ہے۔ x−10۔

اگر 4 ایک مستقل ہے اور z ایک متغیر ہے تو - اگر آپ 4 بار z کو ضرب دیں تو آپ کو کیا ملے گا؟ اگر آپ 4 کو z میں شامل کریں تو آپ کو کیا ملے گا؟ جواب: 4×z اور 4+z بھی متغیر ہیں۔ کیونکہ مستقل اور متغیر کا مجموعہ بھی ایک متغیر ہے۔

الجبری مساوات

ریاضی میں ہم لکھتے ہیں 2 + 3 = ؟

الجبرا میں وہی لکھا جائے گا 2 + 3 = x

یہاں ؟ ایک نامعلوم متغیر 'x' سے بدل دیا گیا ہے ۔

مذکورہ بالا اظہار '2 + 3 = x' کو ' الجبری ایکویشن ' کہا جاتا ہے۔

مساوی نشان اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ بائیں ہاتھ کی قیمت دائیں ہاتھ کے برابر ہے یا ہم کہہ سکتے ہیں کہ یہ ایک متوازن مساوات ہے۔

الجبری مساوات میں، ہم متغیر کی قدر تلاش کرتے ہیں۔ متغیر ایک ایسے نمبر کی علامت ہے جسے ہم ابھی تک نہیں جانتے ہیں۔ 'x' مساوات 2 + 3 = x میں ایک متغیر ہے۔ اور 2، 3 مستقل ہیں۔

آئیے چند مثالیں لے کر متغیرات کو سمجھتے ہیں۔
طلباء کتابوں کی دکان سے نوٹ بک خریدتے ہیں۔ ایک نوٹ بک کی قیمت $5 ہے۔ اگر n نوٹ بکس کی تعداد ہے جو طالب علم خریدنا چاہتا ہے، تو n قیمت لے سکتا ہے جیسے 1، 2، 3، وغیرہ۔ اور طالب علم کو کتابوں کی تعداد کے لیے \(5n\) قیمت ادا کرنی ہوگی۔ n نوٹ بک کی کل قیمت اصول کے ذریعہ دی گئی ہے: n کتابوں کی کل قیمت = 5 × n۔ اگر میں 3 نوٹ بک خریدتا ہوں، تو مجھے $15 ($5 × 3) ادا کرنا ہوں گے۔

آئیے ایک اور مثال لیتے ہیں۔ مریم کے پاس جیری سے 10 زیادہ سیب ہیں۔ لہذا اگر جیری کے پاس سیب کی تعداد 'm' ہے، مریم کے پاس '10+m ' سیب ہیں۔
دونوں صورتوں میں، m ایک متغیر ہے۔ تاہم، دونوں کے لیے الجبری اظہار مختلف ہے۔
آئیے ہم یہ بھی دیکھتے ہیں کہ ریاضی کے عام اصول جو ہم پہلے ہی سیکھ چکے ہیں ان کا اظہار متغیرات کے ذریعے کیا جاتا ہے۔

• لمبائی l کے ہر طرف والے مربع کا دائرہ 4l ہے۔ مربع کا دائرہ = 4l، یہاں l ایک متغیر ہے۔
• لمبائی l اور چوڑائی w کے ساتھ مستطیل کا دائرہ اس طرح ظاہر کیا جاتا ہے۔ Perimeter = 2l + 2w، یہاں l اور w متغیر ہیں۔
  

ریاضی سے قواعد

دو نمبروں کے اضافے کا فرق
ہم جانتے ہیں کہ 3 + 4 = 4 + 3، لہذا x + y = y + x
یہ متغیرات x اور y کا استعمال کرتے ہوئے عام شکل میں اصول کا اظہار کر رہا ہے۔

دو نمبروں کے ضرب کی کمیوٹیٹیویٹی
3 × 4 = 4 × 3، 33 × 23 = 23 × 33 (ضرب کی ترتیب نتیجہ کو تبدیل نہیں کرتی ہے)، لہذا ہم اس اصول کو متغیرات میں x × y = y × x یا xy = yx کے طور پر لکھ سکتے ہیں۔

اعداد کی تقسیم
7 × 42 \( 7\times(40 + 2) = 7 \times 40 + 7 \times 2 = 280 + 14 = 294\) کے طور پر بھی لکھا جا سکتا ہے، اگر اعداد کو متغیر سے بدل دیا جائے تو ہم اسے اس طرح لکھ سکتے ہیں:
\(x \times (y + z) = xy + xz\)

نمبروں کی ایسوسی ایٹیوٹی
جیسا کہ ( \(6+3) + 4 = 6 + (3 + 4)\) لہذا، ہم عام طور پر \((x + y) + z = x + (y + z )\) لکھ سکتے ہیں۔
اسی طرح، \((x \times y) \times z = x \times (y \times z)\)

ایک مساوات کا حل

الجبری مساوات کو حل کرنے کے لیے، نامعلوم قدروں کو ایک طرف اور معلوم قدروں کو دوسری طرف منتقل کریں۔ آئیے ایک مثال لیں اور ایکس کی قدر معلوم کرنے کی کوشش کریں۔

مثال 1:
\(x -2 = 3\)
دونوں اطراف میں 2 شامل کریں۔ براہ کرم نوٹ کریں کہ مساوات کے دونوں اطراف ایک ہی نمبر سے اضافہ، گھٹاؤ، ضرب، اور تقسیم مساوات کے توازن کو متاثر نہیں کرتی ہے، اور '=' اب بھی درست ہے۔ یعنی بائیں ہاتھ کی طرف = دائیں ہاتھ کی طرف

\(x - 2 + 2 = 3 + 2\)

⇒ \(x = 5\)

مثال 2:
x کے لیے ذیل میں الجبری مساوات حل کریں: \(x + 2 = 6\)
دونوں اطراف سے 2 کو گھٹانا۔ اس طرح ہم اس اصول پر عمل کر رہے ہیں کہ ایک طرف صرف نامعلوم کے ساتھ اور دوسرا رخ معلوم اقدار کے ساتھ۔

\(x + 2 - 2 = 6 - 2\)

⇒ \(x = 4\)

مثال 3:

\(4 \times x = 20\)

دونوں اطراف کو 4 سے تقسیم کریں۔

\(\frac{4 \times x}{4} = \frac{20}{4}\)

⇒ \(x = 5\)

مثال 4:

\( \frac{x}{3}\) = 5

دونوں اطراف کو 3 سے ضرب دیں۔

\(\frac{x}{3} \times 3 = 5 \times 3\)

⇒ \(x = 15\)

براہ کرم نوٹ کریں کہ الجبری مساوات میں ایک سے زیادہ متغیر ہو سکتے ہیں۔