Back to the topics list

algebra

Algebra arifmetikaning barcha qoidalariga amal qiladi. U arifmetikaga asoslangan bir xil to‘rtta amaldan, ya’ni qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lishdan foydalanadi.

Ammo Algebra bitta yangi elementni kiritadi. "Noma'lum" elementi . Noma'lum qiymatlar Algebrada o'zgaruvchilar bilan almashtiriladi. O'zgaruvchilar x, y va z kabi harflar sifatida ko'rsatilishi mumkin.

Doimiy va oʻzgaruvchan

Doimiy vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydi va belgilangan qiymatga ega. Masalan, 2, 6, 1212, pi. O'zgaruvchilar - vaqt o'tishi bilan o'zgarishi mumkin bo'lgan qiymatlar. Masalan, kunning turli vaqtlarida harorat o'zgaruvchanlikni ifodalaydi. Sizning sinfingizdagi talabaning vazni o'zgaruvchan, chunki u talabadan talabaga farq qiladi.

Misol: 2x da 2 doimiy va x o'zgaruvchidir. 4 + xy da 4 doimiy, x va y esa o'zgaruvchilardir.

Algebraik ifoda

Algebraik ifoda to'rtta asosiy amalning (+, -, ×, ÷) ba'zilari yoki barchasi bilan bog'langan doimiylar va o'zgaruvchilarning birikmasidir. Masalan, 2x + 10y + 3 algebraik ifodadir. Keling, quyidagi bayonot uchun algebraik ifoda yaratishga harakat qilaylik:
"Kecha siz matematikadan x savolni yechdingiz. Bugun 10 ta savol kam qildingiz. Bugun nechta savolni yechdingiz?"
Bugun siz hal qilgan savollar sonini tushuntiruvchi algebraik ifoda x−10.

Agar 4 doimiy va z o'zgaruvchi bo'lsa, u holda - Agar z ni 4 marta ko'paytirsangiz nima bo'ladi? Agar siz z ga 4 ni qo'shsangiz nima bo'ladi? Javob: 4×z va 4+z ham o‘zgaruvchidir. Chunki doimiy va o‘zgaruvchining birikmasi ham o‘zgaruvchi hisoblanadi.

Algebraik tenglama

Arifmetikada 2 + 3 = ni yozamiz ?

Algebrada xuddi shunday yoziladi 2 + 3 = x

Bu yerga ? noma'lum o'zgaruvchi "x" bilan almashtiriladi .

Yuqoridagi "2 + 3 = x" ifodasi " Algebraik tenglama " deb ataladi.

Teng belgi chap tomonning qiymati o'ng tomonga teng ekanligini bildiradi yoki biz buni muvozanatli tenglama deb aytishimiz mumkin.

Algebraik tenglamada biz o'zgaruvchining qiymatini topamiz. O'zgaruvchi - bu biz hali bilmagan raqamning belgisi. 'x' 2 + 3 = x tenglamadagi o'zgaruvchidir. Va 2, 3 doimiydir.

Keling, bir nechta misollar olib, o'zgaruvchilarni tushunaylik.
Talabalar kitob do'konidan daftar sotib olishadi. Noutbuk 5 dollar turadi. Agar n talaba sotib olmoqchi bo'lgan daftarlar soni bo'lsa, u holda n 1, 2, 3 va hokazo kabi qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Va talaba n ta kitob uchun \(5n\) narx to'lashi kerak. n ta daftarning umumiy narxi qoida bilan berilgan: n ta kitobning umumiy qiymati = 5 × n. Agar men 3 ta daftar sotib olsam, u holda $15 ($5 × 3) to'lashim kerak.

Yana bir misol keltiraylik. Merida Jerriga qaraganda 10 ta ko'proq olma bor. Shunday qilib, agar Jerrida "m" olma bo'lsa, Meri " 10 + m " olmaga ega.
Ikkala holatda ham m o'zgaruvchidir . Biroq, ikkalasining algebraik ifodasi boshqacha.
Keling, matematikada biz allaqachon o'rgangan umumiy qoidalar o'zgaruvchilar yordamida qanday ifodalanganligini ko'rib chiqaylik.

• Har bir tomoni l uzunlikdagi kvadratning perimetri 4l ga teng. Kvadratning perimetri = 4l, bu erda l o'zgaruvchidir.
• Uzunligi l va kengligi w bo'lgan to'rtburchakning perimetri quyidagicha ifodalanadi Perimetr = 2l + 2w, bu erda l va w o'zgaruvchilardir.
  

Arifmetikadan qoidalar

Ikki sonni qo'shishning almashinishi
Biz 3 + 4 = 4 + 3 ekanligini bilamiz, shuning uchun x + y = y + x
Bu x va y o'zgaruvchilari yordamida qoidani umumiy shaklda ifodalaydi.

Ikki sonni ko'paytirishning kommutativligi
3 × 4 = 4 × 3, 33 × 23 = 23 × 33 (ko'paytirish tartibi natijani o'zgartirmaydi), shuning uchun biz bu qoidani o'zgaruvchilarga x × y = y × x yoki xy = yx shaklida yozishimiz mumkin.

Raqamlarning taqsimlanishi
7 × 42 \( 7\times(40 + 2) = 7 \times 40 + 7 \times 2 = 280 + 14 = 294\) shaklida ham yozish mumkin, agar raqamlar o'zgaruvchilar bilan almashtirilsa, uni quyidagicha yozishimiz mumkin:
\(x \times (y + z) = xy + xz\)

Raqamlarning assotsiativligi
( \(6+3) + 4 = 6 + (3 + 4)\) sifatida biz umumiy tarzda \((x + y) + z = x + (y + z )\) yozishimiz mumkin.
Xuddi shunday, \((x \times y) \times z = x \times (y \times z)\)

Tenglama yechimi

Algebraik tenglamani yechish uchun noma'lum qiymatlarni bir tomonga, ma'lum qiymatlarni esa boshqa tomonga o'tkazing. Keling, misol keltiramiz va x qiymatini topishga harakat qilamiz.

1-misol:
\(x -2 = 3\)
Ikkala tomonga 2 qo'shing. Shuni esda tutingki, tenglamaning ikkala tomonida bir xil songa qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish tenglamaning muvozanatiga ta'sir qilmaydi va "=" hali ham to'g'ri bo'ladi. ya'ni chap qo'l tomoni = o'ng tomon

\(x - 2 + 2 = 3 + 2\)

⇒ \(x = 5\)

2-misol:
X uchun quyidagi algebraik tenglamani yeching: \(x + 2 = 6\)
Ikkala tomondan 2 ni ayirish. Shunday qilib, biz faqat bir tomoni noma'lum, ikkinchi tomoni esa ma'lum qiymatlarga ega bo'lish qoidasiga amal qilamiz.

\(x + 2 - 2 = 6 - 2\)

⇒ \(x = 4\)

3-misol:

\(4 \times x = 20\)

Ikkala tomonni 4 ga bo'ling

\(\frac{4 \times x}{4} = \frac{20}{4}\)

⇒ \(x = 5\)

4-misol:

\( \frac{x}{3}\) = 5

Ikkala tomonni 3 ga ko'paytiring

\(\frac{x}{3} \times 3 = 5 \times 3\)

⇒ \(x = 15\)

E'tibor bering, algebraik tenglama bir nechta o'zgaruvchiga ega bo'lishi mumkin.