একটি অসীম সিরিজ হল সংখ্যার অসীম ক্রমগুলির সমষ্টি। এই সংখ্যাগুলি একটি নির্দিষ্ট প্যাটার্ন বা নিয়ম অনুসরণ করে। অসীম সিরিজের ধারণাটি গাণিতিক বিশ্লেষণের একটি ভিত্তি, এবং এটি পদার্থবিদ্যা, কম্পিউটার বিজ্ঞান এবং প্রকৌশল সহ বিভিন্ন শাখায় সমালোচনামূলক প্রয়োগ রয়েছে।
সহজ ভাষায়, একটি অসীম সিরিজ সংখ্যার একটি অন্তহীন তালিকা যোগ করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমাদের একটি ক্রম থাকে \(a_1, a_2, a_3, \ldots\) , তাহলে সংশ্লিষ্ট সিরিজটি \(a_1 + a_2 + a_3 + \ldots\) হিসাবে লেখা হবে এবং প্রায়শই যোগফলন স্বরলিপি ব্যবহার করে প্রকাশ করা হয় \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) । এই অসীম যোগফল বোঝার জন্য, গণিতবিদরা অভিসারের ধারণাটি প্রবর্তন করেন।
একটি অসীম সিরিজ একত্রিত হয় যদি যোগফল একটি নির্দিষ্ট সীমিত মানের কাছে পৌঁছায় কারণ আরও বেশি পদ যোগ করা হয়। বিপরীতভাবে, যদি যোগফল আবদ্ধ না করে বৃদ্ধি পায় বা একটি নির্দিষ্ট মানের সাথে স্থির না হয়, তাহলে সিরিজটিকে বিচ্যুত বলা হয়।
একটি অসীম সিরিজ সম্পর্কে মূল প্রশ্ন হল এটি একত্রিত বা বিচ্ছিন্ন হয় কিনা। এটি নির্ধারণ করার জন্য, বিভিন্ন পরীক্ষা প্রয়োগ করা যেতে পারে, যেমন অনুপাত পরীক্ষা, রুট পরীক্ষা এবং ইন্টিগ্রেল টেস্ট, অন্যদের মধ্যে।
অভিসারী সিরিজের একটি ক্লাসিক উদাহরণ হল জ্যামিতিক সিরিজ। একটি জ্যামিতিক সিরিজের জন্য যেখানে প্রতিটি পদ পূর্ববর্তী পদের একটি ধ্রুবক অনুপাত (প্রথমটি ছাড়া), \(a, ar, ar^2, ar^3, \ldots\) দ্বারা প্রদত্ত যেখানে \(|r| < 1\) , যোগফল সূত্র ব্যবহার করে পাওয়া যাবে:
\(S = \frac{a}{1 - r}\)
উদাহরণস্বরূপ, জ্যামিতিক সিরিজ \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots\) নিন যেখানে \(a = 1\) এবং \(r = \frac{1}{2}\) । কনভারজেন্স সূত্র ব্যবহার করে, আমরা পাই:
\(S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2\)
একটি ভিন্ন ধারার একটি সাধারণ উদাহরণ হল হারমোনিক সিরিজ: \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots\) এর শর্তাবলী শূন্যের কাছাকাছি থাকা সত্ত্বেও, হারমোনিক সিরিজের যোগফল ভিন্ন হয়ে যায়, যার অর্থ এটি সীমা ছাড়াই বৃদ্ধি পায়।
একটি সিরিজের অভিন্নতা বা বিচ্যুতি কল্পনা করতে, কেউ সফ্টওয়্যার সরঞ্জাম বা স্প্রেডশীট ব্যবহার করে সাধারণ সংখ্যাসূচক পরীক্ষাগুলি সম্পাদন করতে পারে। জ্যামিতিক সিরিজ \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots \) নিয়ে পরীক্ষা করার জন্য এখানে একটি ধারণা রয়েছে :
এই ধরনের একটি পরীক্ষা করার মাধ্যমে, আপনি প্রথম হাতে সিরিজের অভিসারন বা অপসারণ দেখতে পারেন। অভিসারী সিরিজের জন্য, আপনি লক্ষ্য করবেন যে পদের সংখ্যা বাড়ার সাথে সাথে আংশিক যোগফল একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার কাছে আসে, অভিসারতা প্রদর্শন করে। বিপরীতে, ভিন্ন ভিন্ন সিরিজের জন্য, আপনি যত পদই যোগ করুন না কেন, যোগফল বাড়তে থাকবে বা একটি নির্দিষ্ট মান স্থির করতে ব্যর্থ হবে।
অসীম সিরিজ বিভিন্ন ক্ষেত্রে অ্যাপ্লিকেশন খুঁজুন:
কনভারজেন্স এবং ডাইভারজেন্সের ধারণাগুলি বোঝা, সেইসাথে নির্দিষ্ট সিরিজ যেমন জ্যামিতিক বা সুরেলা, বিশুদ্ধ এবং ফলিত উভয় গণিতের পাশাপাশি অন্যান্য বৈজ্ঞানিক শাখায় আরও অধ্যয়নের জন্য গুরুত্বপূর্ণ।
