یک سری نامتناهی مجموع یک دنباله نامتناهی از اعداد است. این اعداد از یک الگو یا قانون خاصی پیروی می کنند. مفهوم سری بی نهایت سنگ بنای آنالیز ریاضی است و کاربردهای مهمی در رشته های مختلف از جمله فیزیک، علوم کامپیوتر و مهندسی دارد.
به زبان ساده، یک سری بی نهایت لیست بی پایانی از اعداد را جمع می کند. به عنوان مثال، اگر دنباله ای داشته باشیم \(a_1, a_2, a_3, \ldots\) ، سری مربوطه به صورت \(a_1 + a_2 + a_3 + \ldots\) \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) می شود و اغلب با استفاده از نماد جمع بیان می شود. \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) . برای درک این مجموع نامحدود، ریاضیدانان مفهوم همگرایی را معرفی می کنند.
یک سری نامتناهی همگرا می شود اگر مجموع به یک مقدار محدود خاص نزدیک شود زیرا تعداد ترم های بیشتر و بیشتر اضافه می شود. برعکس، اگر مجموع بدون محدودیت رشد کند یا به یک مقدار خاص ثابت نشود، گفته می‌شود سری واگرا می‌شود.
سوال کلیدی در مورد یک سری بی نهایت این است که آیا همگرا می شود یا واگرا. برای تعیین این امر می توان از انواع تست ها مانند تست نسبت، تست ریشه و تست انتگرال و غیره استفاده کرد.
نمونه کلاسیک سری همگرا، سری هندسی است. برای یک سری هندسی که در آن هر جمله یک نسبت ثابت از جمله قبلی است (به جز اولین مورد)، که با \(a, ar, ar^2, ar^3, \ldots\) که در آن \(|r| < 1\) ، مجموع را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:
\(S = \frac{a}{1 - r}\)
برای مثال، سری هندسی \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots\) در نظر بگیرید که در آن \(a = 1\) و \(r = \frac{1}{2}\) . با استفاده از فرمول همگرایی، به دست می آوریم:
\(S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2\)
یک مثال متداول از یک سری واگرا، سری هارمونیک است: \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots\) . با وجود نزدیک شدن عبارات آن به صفر، مجموع سری هارمونیک واگرا می شود، به این معنی که بدون محدودیت رشد می کند.
برای تجسم همگرایی یا واگرایی یک سری، می توان آزمایش های عددی ساده ای را با استفاده از ابزارهای نرم افزاری یا یک صفحه گسترده انجام داد. در اینجا ایده ای برای آزمایش با سری هندسی \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots \) :
از طریق انجام چنین آزمایشی، می توانید به طور مستقیم همگرایی یا واگرایی سری ها را مشاهده کنید. برای سری های همگرا، متوجه خواهید شد که با افزایش تعداد عبارت ها، مجموع جزئی به عدد خاصی نزدیک می شود و همگرایی را نشان می دهد. برعکس، برای سری‌های واگرا، مهم نیست که چند عبارت اضافه کنید، مجموع افزایش می‌یابد یا به یک مقدار مشخص نمی‌رسد.
سری بی نهایت در زمینه های مختلف کاربرد پیدا می کند:
درک مفاهیم همگرایی و واگرایی و همچنین سری های خاص مانند هندسی یا هارمونیک برای مطالعه بیشتر در ریاضیات محض و کاربردی و همچنین سایر رشته های علمی بسیار مهم است.
