Une série infinie est la somme d’une suite infinie de nombres. Ces nombres suivent un modèle ou une règle spécifique. Le concept de séries infinies est la pierre angulaire de l’analyse mathématique et a des applications critiques dans diverses disciplines, notamment la physique, l’informatique et l’ingénierie.
En termes simples, une série infinie additionne une liste infinie de nombres. Par exemple, si nous avons une séquence \(a_1, a_2, a_3, \ldots\) , la série correspondante s'écrira sous la forme \(a_1 + a_2 + a_3 + \ldots\) et est souvent exprimée en utilisant la notation de sommation \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) . Pour donner un sens à cette somme infinie, les mathématiciens introduisent le concept de convergence.
Une série infinie converge si la somme s'approche d'une valeur finie spécifique à mesure que de plus en plus de termes sont ajoutés. À l’inverse, si la somme croît sans limite ou ne s’établit pas à une valeur particulière, on dit que la série diverge.
La question clé concernant une série infinie est de savoir si elle converge ou diverge. Pour déterminer cela, divers tests peuvent être appliqués, tels que le test de ratio, le test de racine et le test intégral, entre autres.
Un exemple classique de série convergente est la série géométrique. Pour une série géométrique où chaque terme est un rapport constant du terme précédent (sauf le premier), donné par \(a, ar, ar^2, ar^3, \ldots\) où \(|r| < 1\) , la somme peut être trouvée à l'aide de la formule :
\(S = \frac{a}{1 - r}\)
Par exemple, prenons la série géométrique \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots\) où \(a = 1\) et \(r = \frac{1}{2}\) . En utilisant la formule de convergence, on obtient :
\(S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2\)
Un exemple courant de série divergente est la série harmonique : \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots\) . Malgré ses termes proches de zéro, la somme des séries harmoniques diverge, c'est-à-dire qu'elle croît sans limite.
Pour visualiser la convergence ou la divergence d'une série, on peut effectuer des expériences numériques simples à l'aide d'outils logiciels ou d'un tableur. Voici une idée d'expérience avec la série géométrique \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots \) :
En réalisant une telle expérience, vous pouvez constater par vous-même la convergence ou la divergence des séries. Pour les séries convergentes, vous remarquerez qu'à mesure que le nombre de termes augmente, les sommes partielles se rapprochent d'un nombre particulier, démontrant la convergence. Au contraire, pour les séries divergentes, quel que soit le nombre de termes que vous ajoutez, la somme continuera d'augmenter ou ne parviendra pas à atteindre une valeur spécifique.
Les séries infinies trouvent des applications dans divers domaines :
Comprendre les concepts de convergence et de divergence, ainsi que les séries spécifiques telles que géométriques ou harmoniques, est crucial pour poursuivre ses études en mathématiques pures et appliquées, ainsi que dans d'autres disciplines scientifiques.
