Хязгааргүй цуваа нь тоонуудын төгсгөлгүй дарааллын нийлбэр юм. Эдгээр тоонууд нь тодорхой загвар эсвэл дүрмийг дагаж мөрддөг. Хязгааргүй цувралын тухай ойлголт нь математик шинжилгээний тулгын чулуу бөгөөд физик, компьютерийн шинжлэх ухаан, инженерчлэл зэрэг янз бүрийн салбаруудад чухал хэрэглээтэй байдаг.
Энгийнээр хэлбэл, хязгааргүй цуврал тоонуудын төгсгөлгүй жагсаалтыг нэмдэг. Жишээлбэл, хэрэв бидэнд \(a_1, a_2, a_3, \ldots\) дараалал байгаа бол харгалзах цуваа нь \(a_1 + a_2 + a_3 + \ldots\) хэлбэрээр бичигдэх бөгөөд ихэвчлэн нийлбэр тэмдэглэгээг \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) . Энэхүү хязгааргүй нийлбэрийг ойлгохын тулд математикчид конвергенцын тухай ойлголтыг нэвтрүүлдэг.
Хэрэв нийлбэр нь тодорхой хязгаарлагдмал утгад ойртож байвал хязгааргүй цуваа нийлдэг. Эсрэгээр, хэрэв нийлбэр хязгааргүй өсөх эсвэл тодорхой утгад тогтохгүй бол цувааг зөрүүтэй гэж үзнэ.
Хязгааргүй цувааны тухай гол асуулт бол нийлэх үү, салгах уу гэдэг юм. Үүнийг тодорхойлохын тулд харьцааны тест, үндэс тест, интеграл тест гэх мэт олон төрлийн тестийг ашиглаж болно.
Конвергент цувралын сонгодог жишээ бол геометрийн цуваа юм. Гишүүн бүр нь өмнөх гишүүний (эхнийхээс бусад) тогтмол харьцаатай геометрийн цувралын хувьд \(a, ar, ar^2, ar^3, \ldots\) аар өгөгдсөн бөгөөд \(|r| < 1\) , нийлбэрийг дараах томъёогоор олж болно.
\(S = \frac{a}{1 - r}\)
Жишээлбэл, \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots\) геометрийн цувааг авч, \(a = 1\) ба \(r = \frac{1}{2}\) . Конвергенцийн томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.
\(S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2\)
Дивергент цувааны нийтлэг жишээ бол гармоник цуваа юм: \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots\) . Нөхцөлүүд нь тэг рүү ойртож байгаа хэдий ч гармоник цувралын нийлбэр зөрүүтэй байдаг бөгөөд энэ нь хязгааргүй өсдөг гэсэн үг юм.
Цувралын нэгдэл, ялгааг төсөөлөхийн тулд програм хангамжийн хэрэгсэл эсвэл хүснэгт ашиглан энгийн тоон туршилтуудыг хийж болно. \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots \) геометрийн цуваатай туршилт хийх санаа энд байна:
Ийм туршилтыг хийснээр та цувралуудын нэгдэл, зөрүүг нүдээр харж болно. Нэгдэх цувааны хувьд нэр томъёоны тоо өсөх тусам хэсэгчилсэн нийлбэрүүд нь тодорхой тоонд ойртож, нэгдмэл байдлыг харуулж байгааг анзаарах болно. Эсрэгээр, дивергент цувралын хувьд хэчнээн нэр томъёо нэмсэн ч нийлбэр өссөөр байх эсвэл тодорхой утгад хүрэхгүй байх болно.
Хязгааргүй цуврал нь янз бүрийн талбарт програмуудыг олдог:
Конвергенц ба дифференциал, түүнчлэн геометр эсвэл гармоник гэх мэт тодорхой цувралуудыг ойлгох нь цэвэр болон хэрэглээний математик, түүнчлэн бусад шинжлэх ухааны салбаруудад цаашид судлахад маш чухал юм.
