अनन्त शृङ्खला भनेको संख्याहरूको असीम अनुक्रमको योग हो। यी संख्याहरू एक विशिष्ट ढाँचा वा नियम पछ्याउँछन्। अनन्त श्रृंखला को अवधारणा गणितीय विश्लेषण मा एक आधारशिला हो, र यो भौतिक विज्ञान, कम्प्युटर विज्ञान, र ईन्जिनियरिङ् सहित विभिन्न विषयहरूमा महत्वपूर्ण अनुप्रयोगहरू छन्।
सरल शब्दहरूमा, एक अनन्त श्रृंखलाले संख्याहरूको अन्तहीन सूची थप्छ। उदाहरणका लागि, यदि हामीसँग अनुक्रम \(a_1, a_2, a_3, \ldots\) छ भने, सम्बन्धित श्रृंखला \(a_1 + a_2 + a_3 + \ldots\) को रूपमा लेखिनेछ र प्रायः योग सङ्केत प्रयोग गरेर व्यक्त गरिन्छ \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) । यस असीम योगको अर्थ बनाउन, गणितज्ञहरूले अभिसरणको अवधारणा प्रस्तुत गर्छन्।
असीमित शृङ्खला कन्भर्ज हुन्छ यदि योग निश्चित परिमित मानमा पुग्छ भने थप र थप सर्तहरू थपिन्छन्। यसको विपरित, यदि योग सीमा बिना बढ्छ वा एक विशेष मानमा बसोबास गर्दैन भने, श्रृंखला भिन्न हुन्छ भनिन्छ।
अनन्त शृङ्खलाको बारेमा मुख्य प्रश्न यो हो कि यो अभिसरण वा भिन्न हुन्छ। यो निर्धारण गर्न, विभिन्न प्रकारका परीक्षणहरू लागू गर्न सकिन्छ, जस्तै अनुपात परीक्षण, रूट परीक्षण, र एकीकृत परीक्षण, अन्य बीचमा।
अभिसरण श्रृंखलाको उत्कृष्ट उदाहरण ज्यामितीय श्रृंखला हो। ज्यामितीय शृङ्खलाका लागि जहाँ प्रत्येक पद अघिल्लो पदको स्थिर अनुपात हो (पहिलो बाहेक), \(a, ar, ar^2, ar^3, \ldots\) जहाँ \(|r| < 1\) द्वारा दिइएको \(|r| < 1\) , योग सूत्र प्रयोग गरेर फेला पार्न सकिन्छ:
\(S = \frac{a}{1 - r}\)
उदाहरणका लागि, ज्यामितीय श्रृंखला लिनुहोस् \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots\) जहाँ \(a = 1\) र \(r = \frac{1}{2}\) । अभिसरण सूत्र प्रयोग गरेर, हामी प्राप्त गर्छौं:
\(S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2\)
एक भिन्न श्रृंखला को एक सामान्य उदाहरण हार्मोनिक श्रृंखला हो: \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots\) यसको सर्तहरू शून्यमा पुग्दा पनि, हार्मोनिक शृङ्खलाको योग भिन्न हुन्छ, यसको मतलब यो सीमा बिना बढ्छ।
श्रृंखलाको अभिसरण वा विचलन कल्पना गर्न, सफ्टवेयर उपकरण वा स्प्रेडसिट प्रयोग गरेर साधारण संख्यात्मक प्रयोगहरू गर्न सकिन्छ। यहाँ ज्यामितीय श्रृंखला \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots \) प्रयोगको लागि एउटा विचार छ :
यस्तो प्रयोग प्रदर्शन गरेर, तपाइँ पहिलो हात श्रृंखला को अभिसरण वा विचलन देख्न सक्नुहुन्छ। अभिसरण शृङ्खलाका लागि, तपाईंले याद गर्नुहुनेछ कि सर्तहरूको संख्या बढ्दै जाँदा, आंशिक योगहरू एक विशेष सङ्ख्यामा पुग्छन्, अभिसरण प्रदर्शन गर्दै। यसको विपरित, विपरित शृङ्खलाका लागि, तपाईंले जतिसुकै सर्तहरू थपे पनि, योगफल बढिरहन्छ वा निश्चित मानमा सेटल हुन असफल हुन्छ।
अनन्त श्रृंखला विभिन्न क्षेत्रहरूमा अनुप्रयोगहरू फेला पार्नुहोस्:
अभिसरण र विचलनका अवधारणाहरू, साथै विशिष्ट श्रृंखलाहरू जस्तै ज्यामितीय वा हार्मोनिक, दुवै शुद्ध र लागू गणित, साथै अन्य वैज्ञानिक विषयहरूमा थप अध्ययनको लागि महत्त्वपूर्ण छ।
