ایک لامحدود سلسلہ اعداد کی لامحدود ترتیب کا مجموعہ ہے۔ یہ نمبر ایک مخصوص پیٹرن یا اصول کی پیروی کرتے ہیں۔ لامحدود سیریز کا تصور ریاضیاتی تجزیہ میں ایک سنگ بنیاد ہے، اور اس میں طبیعیات، کمپیوٹر سائنس، اور انجینئرنگ سمیت مختلف شعبوں میں اہم اطلاقات ہیں۔
سادہ الفاظ میں، ایک لامحدود سلسلہ نمبروں کی ایک نہ ختم ہونے والی فہرست کا اضافہ کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر ہمارے پاس ایک ترتیب ہے \(a_1, a_2, a_3, \ldots\) ، تو متعلقہ سیریز کو \(a_1 + a_2 + a_3 + \ldots\) کے طور پر لکھا جائے گا اور اکثر سمیشن اشارے کا استعمال کرتے ہوئے ظاہر کیا جاتا ہے \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) ۔ اس لامحدود رقم کو سمجھنے کے لیے، ریاضی دان کنورجنسنس کا تصور پیش کرتے ہیں۔
ایک لامحدود سلسلہ آپس میں بدل جاتا ہے اگر رقم ایک مخصوص محدود قدر تک پہنچ جاتی ہے کیونکہ زیادہ سے زیادہ اصطلاحات جوڑے جاتے ہیں۔ اس کے برعکس، اگر رقم بغیر کسی پابندی کے بڑھ جاتی ہے یا کسی خاص قدر پر متعین نہیں ہوتی ہے، تو سیریز کو مختلف کہا جاتا ہے۔
ایک لامحدود سلسلہ کے بارے میں اہم سوال یہ ہے کہ آیا یہ آپس میں ملتی ہے یا مختلف ہوتی ہے۔ اس کا تعین کرنے کے لیے، مختلف قسم کے ٹیسٹ لگائے جا سکتے ہیں، جیسے کہ تناسب ٹیسٹ، روٹ ٹیسٹ، اور انٹیگرل ٹیسٹ وغیرہ۔
کنورجینٹ سیریز کی ایک بہترین مثال جیومیٹرک سیریز ہے۔ جیومیٹرک سیریز کے لیے جہاں ہر اصطلاح پچھلی اصطلاح کا مستقل تناسب ہے (پہلے کے علاوہ)، \(a, ar, ar^2, ar^3, \ldots\) کے ذریعہ دیا گیا ہے جہاں \(|r| < 1\) ، جمع فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے پایا جا سکتا ہے:
\(S = \frac{a}{1 - r}\)
مثال کے طور پر، ہندسی سیریز لیں \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots\) جہاں \(a = 1\) اور \(r = \frac{1}{2}\) ۔ کنورجنسی فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے، ہمیں ملتا ہے:
\(S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2\)
متنوع سیریز کی ایک عام مثال ہارمونک سیریز ہے: \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots\) اس کی شرائط صفر کے قریب پہنچنے کے باوجود، ہارمونک سیریز کا مجموعہ مختلف ہو جاتا ہے، یعنی یہ بغیر کسی حد کے بڑھتا ہے۔
کسی سیریز کے کنورجن یا ڈائیورژن کو دیکھنے کے لیے، کوئی سافٹ ویئر ٹولز یا اسپریڈ شیٹ کا استعمال کرتے ہوئے سادہ عددی تجربات کر سکتا ہے۔ جیومیٹرک سیریز \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots \) ساتھ تجربے کے لیے یہاں ایک خیال ہے۔
اس طرح کے تجربے کو انجام دینے کے ذریعے، آپ پہلے ہاتھ سے سیریز کے کنورجن یا ڈائیورژن کو دیکھ سکتے ہیں۔ کنورجنٹ سیریز کے لیے، آپ دیکھیں گے کہ جیسے جیسے اصطلاحات کی تعداد بڑھتی جاتی ہے، جزوی رقوم ایک خاص نمبر تک پہنچتی ہیں، کنورجنسی کا مظاہرہ کرتی ہیں۔ اس کے برعکس، متنوع سیریز کے لیے، اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا ہے کہ آپ کتنی ہی اصطلاحات جوڑیں، رقم بڑھتی رہے گی یا کسی مخصوص قدر کو طے کرنے میں ناکام رہے گی۔
لامحدود سیریز مختلف شعبوں میں ایپلی کیشنز تلاش کرتی ہیں:
ہم آہنگی اور انحراف کے تصورات کو سمجھنا، نیز مخصوص سیریز جیسے جیومیٹرک یا ہارمونک، خالص اور لاگو ریاضی کے ساتھ ساتھ دیگر سائنسی مضامین میں مزید مطالعہ کے لیے بہت ضروری ہے۔
