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polar koordinaten

Polarkoordinaten sind eine Möglichkeit, einen Punkt im Raum darzustellen.

Eine Stange

B-Polarachse

r- radiale Koordinate

θ - Winkelkoordinate

Ein Polarkoordinatensystem bezieht sich auf ein zweidimensionales Koordinatensystem, in dem jeder Punkt auf einer Ebene durch einen Abstand von einem Bezugspunkt und einen Winkel von einer Bezugsrichtung beeinflusst wird. In Polarkoordinaten sprechen wir also über den Abstand des Punktes vom Pol A, der hier als r dargestellt wird, und den Winkel, den er mit der Achse bildet, um den Punkt D zu erreichen, der hier θ ist.

Der Bezugspunkt (entspricht dem Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems) wird als Pol bezeichnet. Der Strahl vom Pol in Bezugsrichtung ist die sogenannte Polachse . Radius, radialer Abstand oder radiale Koordinate ist der Abstand vom Pol. Der Winkel vom Pol wird als Azimut , Polarwinkel oder Winkelkoordinate bezeichnet.

Um einen Punkt in Polarkoordinaten zu definieren, verwenden wir die Notation (r, θ), wobei r der Abstand vom Ursprung zum Punkt und θ der Winkel ist, der gegen den Uhrzeigersinn von der Polarachse zur Linie gemessen wird, die den Ursprung mit dem Punkt verbindet .

Um zwischen polaren und rechtwinkligen Koordinaten (dem traditionellen (x, y)-System) umzurechnen, verwenden wir die folgenden Formeln:

\(x = r \times \cosθ\)

\(y = r \times \sinθ\)

Um umgekehrt von rechtwinkligen Koordinaten in Polarkoordinaten umzuwandeln, verwenden wir die Formeln:

\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)

\(θ = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)

Hier, hellbraun ^-1 ist eine Funktion, die zwei Argumente (y und x) akzeptiert und den Winkel zwischen der positiven x-Achse und der Linie zurückgibt, die durch den Ursprung und (x, y) verläuft, gemessen gegen den Uhrzeigersinn.

Polarkoordinaten sind besonders nützlich in Situationen, in denen es um Kreis- oder Rotationssymmetrie geht, z. B. um die Positionen von Punkten auf einem Rad oder die Bewegung eines Pendels zu beschreiben. Sie werden auch ausgiebig in Physik und Technik verwendet, um die Bewegung von Objekten in Polarkoordinaten zu beschreiben, wie z. B. Satelliten, die die Erde umkreisen.

KONVERTIEREN

Um eine von einer Polarkoordinate in eine kartesische Koordinate oder umgekehrt umzuwandeln, verwenden wir ein Dreieck.

KONVERTIERUNG VON KARTESISCH ZU POLAR

Falls wir einen Punkt in kartesischen Koordinaten (x, y) kennen und ihn in Polarkoordinaten (r, θ) umwandeln möchten, beginnen wir mit der Lösung eines rechtwinkligen Dreiecks mit zwei bekannten Seiten.

Beispiel: Was ist (12, 5) in Polarkoordinaten?

LÖSUNG

Verwenden Sie den Satz des Pythagoras, um die lange Seite (Hypotenuse) zu finden.

r ² = 12 ² + 5 ²

^r2 = 169

r = 13

Der zweite Schritt besteht darin, die Tangensfunktion zu verwenden, um den Winkel zu finden,

\(\tanθ = {5 \over 12}\)

\(θ = \tan^{-1} {\frac{5}{12}} = 22.6⁰ \) (bis auf eine Dezimalstelle).

Antwort: Der Punkt (12,5) ist (13, 22,6°) in Polarkoordinaten.

KONVERTIERUNG VON POLAR IN KARTESISCH

Falls wir einen Punkt in Polarkoordinaten (r, θ) kennen und ihn in kartesische Koordinaten (x, y) umwandeln möchten, lösen wir ein rechtwinkliges Dreieck mit bekannter Hypotenuse und bekanntem Winkel.

Beispiel: (13, 22,6°) in kartesische Koordinaten umwandeln.

LÖSUNG

Verwenden Sie die Kosinusfunktion für x: \(\cos 22.6⁰ = \frac{x}{13}\)

x = \(13 \times \cos 22.6⁰\)

x = 13 × 0,923

x = 12,002

x = 12 (abrunden)

Verwenden Sie die Sinusfunktion für y: \(\sin 22.6⁰ = \frac{y}{13}\)

y = 13 × \(\sin 22.6⁰\)

y = 13 × 0,391

y = 4,996

y = 5 (abrunden)

Antwort: Der Punkt (13, 22,6°) ist (12, 5) in kartesischen Koordinaten.