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coordenadas polares

La coordenada polar es una forma de representar un punto en el espacio.

A-Polo

B-Eje Polar

r- Coordenada radial

θ - Coordenada angular

Un sistema de coordenadas polares se refiere a un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto en un plano está influenciado por una distancia desde un punto de referencia y un ángulo desde una dirección de referencia. Entonces, en coordenadas polares, hablamos de la distancia del punto desde el polo A, que se representa aquí como r, y el ángulo que forma con el eje para llegar al punto D, que aquí es θ.

El punto de referencia (que es análogo al origen de un sistema de coordenadas cartesianas) se denomina polo . El rayo procedente del polo en la dirección de referencia es lo que se conoce como eje polar . Radio, distancia radial o coordenada radial es la distancia desde el polo. El ángulo desde el polo se denomina acimut , ángulo polar o coordenada angular.

Para definir un punto en coordenadas polares, usamos la notación (r, θ), donde r es la distancia desde el origen hasta el punto, y θ es el ángulo medido en sentido antihorario desde el eje polar hasta la línea que conecta el origen con el punto. .

Para convertir entre coordenadas polares y rectangulares (el sistema tradicional (x, y)), usamos las siguientes fórmulas:

\(x = r \times \cosθ\)

\(y = r \times \sinθ\)

Por el contrario, para convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas polares, usamos las fórmulas:

\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)

\(θ = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)

Aquí, bronceado ^-1 es una función que toma dos argumentos (y y x) y devuelve el ángulo entre el eje x positivo y la línea que pasa por el origen y (x, y), medido en sentido antihorario.

Las coordenadas polares son particularmente útiles en situaciones que involucran simetría circular o rotacional, como describir las posiciones de los puntos en una rueda o el movimiento de un péndulo. También se utilizan ampliamente en física e ingeniería para describir el movimiento de objetos en coordenadas polares, como los satélites que orbitan alrededor de la Tierra.

MUDADO

Para convertir uno de una coordenada polar a una coordenada cartesiana o viceversa, usamos un triángulo.

CONVERTIR DE CARTESIANO A POLAR

En el caso de que conozcamos un punto en Coordenadas Cartesianas (x, y) y deseemos convertirlo en coordenadas polares (r, θ), empezamos resolviendo un triángulo rectángulo de dos lados conocidos.

Por ejemplo, ¿Qué es (12, 5) en Coordenadas polares?

SOLUCIÓN

Usa el teorema de Pitágoras para encontrar el lado largo (hipotenusa).

r ² = 12 ² + 5 ²

^r2 = 169

r = 13

El segundo paso es usar la función tangente para encontrar el ángulo,

\(\tanθ = {5 \over 12}\)

\(θ = \tan^{-1} {\frac{5}{12}} = 22.6⁰ \) (hasta un punto decimal).

Respuesta: El punto (12,5) es (13, 22,6°) en coordenadas polares.

CONVERTIR DE POLAR A CARTESIANO

En caso de que conozcamos un punto en Coordenadas Polares (r, θ), y deseemos convertirlo a Coordenadas Cartesianas (x,y), resolvemos un triángulo rectángulo con hipotenusa y ángulo conocidos.

Por ejemplo: convertir (13, 22,6°) a coordenadas cartesianas.

SOLUCIÓN

Usa la Función Coseno para x: \(\cos 22.6⁰ = \frac{x}{13}\)

x = \(13 \times \cos 22.6⁰\)

x = 13 × 0,923

x = 12.002

x = 12 (redondeo)

Usa la Función Seno para y: \(\sin 22.6⁰ = \frac{y}{13}\)

y = 13 × \(\sin 22.6⁰\)

y = 13 × 0,391

y = 4.996

y = 5 (redondeo)

Respuesta: El punto (13, 22,6°) es (12, 5) en coordenadas cartesianas.