مختصات قطبی راهی برای نشان دادن یک نقطه در فضا است.
یک ستون
ب- محور قطبی
r- مختصات شعاعی
θ - مختصات زاویه ای
سیستم مختصات قطبی به یک سیستم مختصات دو بعدی اطلاق می شود که در آن هر نقطه از صفحه تحت تأثیر فاصله از یک نقطه مرجع و یک زاویه از یک جهت مرجع قرار می گیرد. بنابراین در مختصات قطبی، ما در مورد فاصله نقطه از قطب A که در اینجا به صورت r نشان داده می شود، و زاویه ای که با محور ایجاد می کند تا به نقطه D برسد که در اینجا θ است صحبت می کنیم.
نقطه مرجع (که مشابه منشا یک سیستم مختصات دکارتی است) به عنوان قطب شناخته می شود. پرتوی از قطب در جهت مرجع همان چیزی است که به عنوان محور قطبی شناخته می شود. شعاع، فاصله شعاعی یا مختصات شعاعی فاصله از قطب است. زاویه قطب به عنوان آزیموت ، زاویه قطبی یا مختصات زاویه ای نامیده می شود.
برای تعریف یک نقطه در مختصات قطبی، از علامت (r, θ) استفاده می کنیم، جایی که r فاصله مبدا تا نقطه است، و θ زاویه اندازه گیری شده در خلاف جهت عقربه های ساعت از محور قطبی به خطی است که مبدا را به نقطه متصل می کند. .
برای تبدیل بین مختصات قطبی و مستطیلی (سیستم سنتی (x,y)) از فرمول های زیر استفاده می کنیم:
\(x = r \times \cosθ\)
\(y = r \times \sinθ\)
برعکس، برای تبدیل مختصات مستطیلی به مختصات قطبی، از فرمول های زیر استفاده می کنیم:
\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)
\(θ = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
اینجا،
مختصات قطبی به ویژه در موقعیت هایی که شامل تقارن دایره ای یا چرخشی است، مانند توصیف موقعیت نقاط روی یک چرخ یا حرکت آونگ، مفید هستند. آنها همچنین به طور گسترده در فیزیک و مهندسی برای توصیف حرکت اجسام در مختصات قطبی، مانند ماهواره هایی که به دور زمین می چرخند، استفاده می شوند.
تبدیل
برای تبدیل یکی از مختصات قطبی به مختصات دکارتی یا بالعکس، از مثلث استفاده می کنیم.
تبدیل از دکارتی به قطبی
اگر نقطه ای را در مختصات دکارتی (x,y) بدانیم و بخواهیم آن را به مختصات قطبی (r, θ) تبدیل کنیم، با حل یک مثلث قائم الزاویه با دو ضلع مشخص شروع می کنیم.
به عنوان مثال، (12، 5) در مختصات قطبی چیست؟
راه حل
از قضیه فیثاغورث برای یافتن ضلع بلند (هیپوتنوز) استفاده کنید.
r 2 = 12 2 + 5 2
r 2 = 169
r = 13
مرحله دوم استفاده از تابع مماس برای یافتن زاویه است.
\(\tanθ = {5 \over 12}\)
\(θ = \tan^{-1} {\frac{5}{12}} = 22.6⁰ \) (تا یک نقطه اعشار).
پاسخ: نقطه (12،5) (13، 22.6 درجه) در مختصات قطبی است.
تبدیل از قطبی به دکارتی
اگر نقطه ای را در مختصات قطبی (r, θ) بدانیم و بخواهیم آن را به مختصات دکارتی (x,y) تبدیل کنیم، یک مثلث قائم الزاویه را با فرض و زاویه مشخص حل می کنیم.
برای مثال: تبدیل (13، 22.6°) به مختصات دکارتی.
راه حل
از تابع کسینوس برای x استفاده کنید: \(\cos 22.6⁰ = \frac{x}{13}\)
x = \(13 \times \cos 22.6⁰\)
x = 13 × 0.923
x = 12.002
x = 12 (دور کردن)
از تابع Sine برای y استفاده کنید: \(\sin 22.6⁰ = \frac{y}{13}\)
y = 13 × \(\sin 22.6⁰\)
y = 13 × 0.391
y = 4.996
y = 5 (دور کردن)
پاسخ: نقطه (13، 22.6 درجه) (12، 5) در مختصات دکارتی است.
