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coordonnées polaires

La coordonnée polaire est un moyen de représenter un point dans l'espace.

Un poteau

B- Axe polaire

r- Coordonnée radiale

θ - Coordonnée angulaire

Un système de coordonnées polaires fait référence à un système de coordonnées bidimensionnel dans lequel chaque point d'un plan est influencé par une distance par rapport à un point de référence et un angle par rapport à une direction de référence. Donc en coordonnées polaires, on parle de la distance du point au pôle A qui est représenté ici par r, et de l'angle qu'il fait avec l'axe pour atteindre le point D qui est θ ici.

Le point de référence (qui est analogue à l'origine d'un système de coordonnées cartésiennes) est appelé pôle . Le rayon du pôle dans la direction de référence est ce qu'on appelle l' axe polaire . Le rayon, la distance radiale ou la coordonnée radiale est la distance à partir du pôle. L'angle par rapport au pôle est appelé azimut , angle polaire ou coordonnée angulaire.

Pour définir un point en coordonnées polaires, on utilise la notation (r, θ), où r est la distance de l'origine au point, et θ est l'angle mesuré dans le sens antihoraire de l'axe polaire à la ligne reliant l'origine au point .

Pour convertir entre les coordonnées polaires et rectangulaires (le système traditionnel (x, y)), nous utilisons les formules suivantes :

\(x = r \times \cosθ\)

\(y = r \times \sinθ\)

Inversement, pour convertir des coordonnées rectangulaires en coordonnées polaires, on utilise les formules :

\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)

\(θ = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)

Ici, bronzage ^-1 est une fonction qui prend deux arguments (y et x) et renvoie l'angle entre l'axe des x positif et la ligne passant par l'origine et (x, y), mesuré dans le sens antihoraire.

Les coordonnées polaires sont particulièrement utiles dans les situations impliquant une symétrie circulaire ou de rotation, telles que la description des positions des points sur une roue ou le mouvement d'un pendule. Ils sont également largement utilisés en physique et en ingénierie pour décrire le mouvement d'objets en coordonnées polaires, tels que les satellites en orbite autour de la Terre.

CONVERSION

Pour convertir une coordonnée polaire en coordonnée cartésienne ou vice versa, nous utilisons un triangle.

CONVERSION DU CARTESIEN AU POLAIRE

Dans le cas où nous connaissons un point en coordonnées cartésiennes (x, y) et que nous souhaitons le convertir en coordonnées polaires (r, θ), nous commençons par résoudre un triangle rectangle avec deux côtés connus.

Par exemple, qu'est-ce que (12, 5) en coordonnées polaires ?

SOLUTION

Utilisez le théorème de Pythagore pour trouver le côté long (hypoténuse).

r ² = 12 ² + 5 ²

r ² = 169

r = 13

La deuxième étape consiste à utiliser la fonction tangente pour trouver l'angle,

\(\tanθ = {5 \over 12}\)

\(θ = \tan^{-1} {\frac{5}{12}} = 22.6⁰ \) (avec une décimale).

Réponse : Le point (12,5) est (13, 22,6°) en coordonnées polaires.

CONVERSION DU POLAR AU CARTESIEN

Dans le cas où nous connaissons un point en coordonnées polaires (r, θ) et que nous souhaitons le convertir en coordonnées cartésiennes (x, y), nous résolvons un triangle rectangle avec une hypoténuse et un angle connus.

Par exemple : convertissez (13, 22,6°) en coordonnées cartésiennes.

SOLUTION

Utilisez la fonction cosinus pour x : \(\cos 22.6⁰ = \frac{x}{13}\)

x = \(13 \times \cos 22.6⁰\)

x = 13 × 0,923

x = 12.002

x = 12 (arrondi)

Utilisez la fonction sinus pour y : \(\sin 22.6⁰ = \frac{y}{13}\)

y = 13 × \(\sin 22.6⁰\)

y = 13 × 0,391

y = 4,996

y = 5 (arrondi)

Réponse : Le point (13, 22,6°) est (12, 5) en coordonnées cartésiennes.