Back to the topics list

coordinate polari

La coordinata polare è un modo per rappresentare un punto nello spazio.

Un palo

B- Asse polare

r- Coordinata radiale

θ - Coordinata angolare

Un sistema di coordinate polari si riferisce a un sistema di coordinate bidimensionale in cui ogni punto su un piano è influenzato da una distanza da un punto di riferimento e da un angolo da una direzione di riferimento. Quindi in coordinate polari, parliamo della distanza del punto dal polo A che qui è rappresentato come r, e dell'angolo che fa con l'asse per raggiungere il punto D che qui è θ.

Il punto di riferimento (che è analogo all'origine di un sistema di coordinate cartesiane) è indicato come polo . Il raggio dal polo nella direzione di riferimento è ciò che è noto come asse polare . Raggio, distanza radiale o coordinata radiale è la distanza dal polo. L'angolo rispetto al polo è indicato come azimut , angolo polare o coordinata angolare.

Per definire un punto in coordinate polari, usiamo la notazione (r, θ), dove r è la distanza dall'origine al punto, e θ è l'angolo misurato in senso antiorario dall'asse polare alla linea che collega l'origine al punto .

Per convertire tra coordinate polari e rettangolari (il sistema tradizionale (x, y)), utilizziamo le seguenti formule:

\(x = r \times \cosθ\)

\(y = r \times \sinθ\)

Al contrario, per convertire da coordinate rettangolari a coordinate polari, usiamo le formule:

\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)

\(θ = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)

Qui, abbronzatura ^-1 è una funzione che accetta due argomenti (y e x) e restituisce l'angolo tra l'asse x positivo e la retta passante per l'origine e (x, y), misurato in senso antiorario.

Le coordinate polari sono particolarmente utili in situazioni che coinvolgono simmetria circolare o rotazionale, come descrivere le posizioni dei punti su una ruota o il movimento di un pendolo. Sono anche ampiamente utilizzati in fisica e ingegneria per descrivere il movimento di oggetti in coordinate polari, come i satelliti in orbita attorno alla terra.

CONVERSIONE

Per convertire uno da una coordinata polare a una coordinata cartesiana o viceversa, usiamo un triangolo.

CONVERSIONE DA CARTESIANO A POLARE

Nel caso in cui conosciamo un punto in coordinate cartesiane (x, y) e lo vogliamo convertire in coordinate polari (r, θ), iniziamo risolvendo un triangolo rettangolo con due lati noti.

Ad esempio, cos'è (12, 5) in coordinate polari?

SOLUZIONE

Usa il teorema di Pitagora per trovare il lato lungo (ipotenusa).

r ² = 12 ² + 5 ²

^r2 = 169

r = 13

Il secondo passaggio consiste nell'utilizzare la funzione tangente per trovare l'angolo,

\(\tanθ = {5 \over 12}\)

\(θ = \tan^{-1} {\frac{5}{12}} = 22.6⁰ \) (con una virgola decimale).

Risposta: Il punto (12,5) è (13, 22,6°) in coordinate polari.

CONVERSIONE DA POLARE A CARTESIANO

Nel caso in cui conosciamo un punto in coordinate polari (r, θ), e desideriamo convertirlo in coordinate cartesiane (x,y), risolviamo un triangolo rettangolo con ipotenusa e angolo noti.

Ad esempio: convertire (13, 22,6°) in coordinate cartesiane.

SOLUZIONE

Usa la funzione coseno per x: \(\cos 22.6⁰ = \frac{x}{13}\)

x = \(13 \times \cos 22.6⁰\)

x = 13 × 0,923

x = 12,002

x = 12 (arrotondamento)

Usa la funzione seno per y: \(\sin 22.6⁰ = \frac{y}{13}\)

y = 13 × \(\sin 22.6⁰\)

y = 13 × 0,391

y = 4,996

y = 5 (arrotondamento)

Risposta: Il punto (13, 22.6°) è (12, 5) in coordinate cartesiane.