Primer lesson: 極座標

極座標は、空間内の点を表す方法です。

ポール

B- 極軸

r- ラジアル座標

θ - 角度座標

極座標系とは、平面上のすべての点が基準点からの距離と基準方向からの角度の影響を受ける 2 次元座標系を指します。したがって、極座標では、ここでは r として表される極 A からの点の距離と、ここでは θ である点 D に到達するために軸となす角度について話します。

基準点 (デカルト座標系の原点に相当する) は、極と呼ばれます。基準方向の極からの光線は、極軸として知られているものです。半径、半径距離、または半径座標は、極からの距離です。極からの角度は、方位角、極角、または角座標と呼ばれます。

極座標で点を定義するには、(r, θ) という表記を使用します。ここで、r は原点から点までの距離、θ は極軸から原点と点を結ぶ線まで反時計回りに測定した角度です。 .

極座標と直角座標 (従来の (x, y) システム) の間で変換するには、次の式を使用します。

\(x = r \times \cosθ\)

\(y = r \times \sinθ\)

逆に、直角座標から極座標に変換するには、次の式を使用します。

\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)

\(θ = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)

ここ、日焼け^-1は、2 つの引数 (y および x) を取り、正の x 軸と、原点および (x, y) を通る線との間の角度を反時計回りに測定して返す関数です。

極座標は、車輪上の点の位置や振り子の動きを記述するなど、円対称または回転対称が関係する状況で特に役立ちます。また、地球を周回する衛星など、極座標での物体の動きを記述するために、物理学や工学でも広く使用されています。

変換中

極座標からデカルト座標に、またはその逆に変換するには、三角形を使用します。

直交座標から極座標への変換

デカルト座標 (x, y) の点が分かっていて、それを極座標 (r, θ) に変換したい場合、既知の 2 辺を持つ直角三角形を解くことから始めます。

たとえば、極座標の (12, 5) は何ですか?

解決

ピタゴラスの定理を使用して、長辺 (斜辺) を見つけます。

r ² = 12 ² + 5 ²

^r2 = 169

r = 13

2 番目のステップは、タンジェント関数を使用して角度を見つけることです。

\(\tanθ = {5 \over 12}\)

\(θ = \tan^{-1} {\frac{5}{12}} = 22.6⁰ \) (小数点以下 1 桁まで)。

答え: 点 (12,5) は極座標で (13, 22.6°) です。

極座標からデカルト座標への変換

極座標 (r, θ) の点が分かっていて、それを直交座標 (x,y) に変換したい場合、既知の斜辺と角度で直角三角形を解きます。

例: (13, 22.6°) をデカルト座標に変換します。

解決

x に余弦関数を使用: \(\cos 22.6⁰ = \frac{x}{13}\)

x = \(13 \times \cos 22.6⁰\)

x = 13 × 0.923

x = 12.002

x = 12 (四捨五入)

y に正弦関数を使用: \(\sin 22.6⁰ = \frac{y}{13}\)

y = 13 × \(\sin 22.6⁰\)

y = 13 × 0.391

y = 4.996

y = 5 (四捨五入)

答え: 点 (13, 22.6°) はデカルト座標で (12, 5) です。

極座標