ध्रुवीय समन्वय अन्तरिक्षमा बिन्दु प्रतिनिधित्व गर्ने तरिका हो।
A- पोल
B- ध्रुवीय अक्ष
r- रेडियल समन्वय
θ - कोणीय समन्वय
ध्रुवीय समन्वय प्रणालीले दुई-आयामी समन्वय प्रणालीलाई बुझाउँछ जसमा विमानको प्रत्येक बिन्दु सन्दर्भको बिन्दुबाट दूरी र सन्दर्भको दिशाबाट कोणबाट प्रभावित हुन्छ। त्यसोभए ध्रुवीय निर्देशांकहरूमा, हामी पोल A बाट बिन्दुको दूरीको बारेमा कुरा गर्छौं जुन यहाँ r को रूपमा प्रतिनिधित्व गरिएको छ, र यहाँ θ बिन्दु D मा पुग्न अक्षसँग बनाइएको कोण।
सन्दर्भ बिन्दु (जो कार्टेसियन समन्वय प्रणालीको उत्पत्तिसँग मिल्दोजुल्दो छ) लाई पोल भनिन्छ। सन्दर्भको दिशामा ध्रुवबाट निस्कने किरणलाई ध्रुवीय अक्ष भनिन्छ। त्रिज्या, रेडियल दूरी, वा रेडियल समन्वय ध्रुवबाट दूरी हो। ध्रुवबाट कोणलाई अजिमुथ , ध्रुवीय कोण वा कोणीय समन्वय भनिन्छ।
ध्रुवीय निर्देशांकहरूमा बिन्दु परिभाषित गर्न, हामी सङ्केत (r, θ) प्रयोग गर्छौं, जहाँ r भनेको उत्पत्तिदेखि बिन्दुसम्मको दूरी हो, र θ ध्रुवीय अक्षबाट विन्दुसँग जोड्ने रेखासम्म घडीको विपरीत दिशामा नापिएको कोण हो। ।
ध्रुवीय र आयताकार समन्वयहरू (परम्परागत (x, y) प्रणाली) बीच रूपान्तरण गर्न, हामी निम्न सूत्रहरू प्रयोग गर्छौं:
\(x = r \times \cosθ\)
\(y = r \times \sinθ\)
यसको विपरीत, आयताकार निर्देशांकबाट ध्रुवीय निर्देशांकमा रूपान्तरण गर्न, हामी सूत्रहरू प्रयोग गर्छौं:
\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)
\(θ = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
यहाँ,
ध्रुवीय निर्देशांकहरू विशेष गरी गोलाकार वा घूर्णन सममिति समावेश गर्ने परिस्थितिहरूमा उपयोगी हुन्छन्, जस्तै पाङ्ग्रामा बिन्दुहरूको स्थिति वा पेन्डुलमको आन्दोलनको वर्णन गर्ने। तिनीहरू भौतिक विज्ञान र इन्जिनियरिङमा पनि ध्रुवीय निर्देशांकहरूमा वस्तुहरूको गति वर्णन गर्नको लागि व्यापक रूपमा प्रयोग गरिन्छ, जस्तै पृथ्वीको परिक्रमा गर्ने उपग्रहहरू।
रूपान्तरण गर्दै
एउटा ध्रुवीय समन्वयबाट कार्टेसियन समन्वयमा रूपान्तरण गर्न वा यसको विपरीत, हामी त्रिभुज प्रयोग गर्छौं।
कार्टेसियनबाट ध्रुवीयमा रूपान्तरण गर्दै
यदि हामीले कार्टेसियन निर्देशांक (x, y) मा बिन्दु थाहा पाएका छौं र हामी यसलाई ध्रुवीय निर्देशांक (r, θ) मा रूपान्तरण गर्न चाहन्छौं भने, हामी दुईवटा भुजाहरू भएको समकोण त्रिकोण समाधान गरेर सुरु गर्छौं।
उदाहरणका लागि, ध्रुवीय निर्देशांकमा (12, 5) के हो?
समाधान
लामो पक्ष (हाइपोटेन्युज) पत्ता लगाउन पाइथागोरस प्रमेय प्रयोग गर्नुहोस्।
r 2 = 12 2 + 5 2
r 2 = 169
r = 13
दोस्रो चरण कोण पत्ता लगाउन ट्यान्जेन्ट प्रकार्य प्रयोग गर्नु हो,
\(\tanθ = {5 \over 12}\)
\(θ = \tan^{-1} {\frac{5}{12}} = 22.6⁰ \) (एक दशमलव बिन्दुमा)।
उत्तर: बिन्दु (12,5) ध्रुवीय निर्देशांकमा (13, 22.6°) हो।
ध्रुवीयबाट कार्टेसियनमा रूपान्तरण गर्दै
यदि हामीलाई ध्रुवीय निर्देशांक (r, θ) मा बिन्दु थाहा छ, र हामी यसलाई Cartesian Coordinates (x,y) मा रूपान्तरण गर्न चाहन्छौं भने, हामी ज्ञात कर्ण र कोणको साथ समकोण त्रिकोण हल गर्छौं।
उदाहरणका लागि: (१३, २२.६°) कार्टेसियन निर्देशांकमा रूपान्तरण गर्नुहोस्।
समाधान
x को लागि कोसाइन प्रकार्य प्रयोग गर्नुहोस्: \(\cos 22.6⁰ = \frac{x}{13}\)
x = \(13 \times \cos 22.6⁰\)
x = १३ × ०.९२३
x = १२.००२
x = १२ (राउन्ड अफ)
y का लागि साइन प्रकार्य प्रयोग गर्नुहोस्: \(\sin 22.6⁰ = \frac{y}{13}\)
y = १३ × \(\sin 22.6⁰\)
y = १३ × ०.३९१
y = 4.996
y = 5 (राउन्ड अफ)
उत्तर: बिन्दु (13, 22.6°) Cartesian Coordinates मा (12, 5) हो।
