Back to the topics list

pool coördinaten

Polaire coördinaat is een manier om een punt in de ruimte weer te geven.

Een paal

B-polaire as

r- radiale coördinaat

θ - hoekcoördinaat

Een polair coördinatensysteem verwijst naar een tweedimensionaal coördinatensysteem waarin elk punt op een vlak wordt beïnvloed door een afstand vanaf een referentiepunt en een hoek vanuit een referentierichting. Dus in poolcoördinaten hebben we het over de afstand van het punt vanaf pool A, die hier wordt weergegeven als r, en de hoek die het maakt met de as om punt D te bereiken, wat hier θ is.

Het referentiepunt (dat analoog is aan de oorsprong van een Cartesiaans coördinatensysteem) wordt de pool genoemd. De straal van de pool in de referentierichting wordt de poolas genoemd. Straal, radiale afstand of radiale coördinaat is de afstand vanaf de paal. De hoek vanaf de pool wordt de azimut , poolhoek of hoekcoördinaat genoemd.

Om een punt in poolcoördinaten te definiëren, gebruiken we de notatie (r, θ), waarbij r de afstand is van de oorsprong tot het punt, en θ de tegen de klok in gemeten hoek is van de poolas naar de lijn die de oorsprong met het punt verbindt .

Om te converteren tussen polaire en rechthoekige coördinaten (het traditionele (x, y) systeem), gebruiken we de volgende formules:

\(x = r \times \cosθ\)

\(y = r \times \sinθ\)

Omgekeerd gebruiken we de formules om rechthoekige coördinaten om te zetten in poolcoördinaten:

\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)

\(θ = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)

Hier, bruinen ^-1 is een functie waaraan twee argumenten (y en x) moeten doorgegeven worden en die de hoek teruggeeft tussen de positieve x-as en de lijn die door de oorsprong en (x, y) gaat, gemeten tegen de klok in.

Polaire coördinaten zijn vooral handig in situaties met cirkel- of rotatiesymmetrie, zoals het beschrijven van de posities van punten op een wiel of de beweging van een slinger. Ze worden ook veel gebruikt in de natuurkunde en techniek om de beweging van objecten in poolcoördinaten te beschrijven, zoals satellieten die in een baan om de aarde draaien.

CONVERTEREN

Om er een om te zetten van een poolcoördinaat naar een cartesiaanse coördinaat of vice versa, gebruiken we een driehoek.

OMZETTEN VAN CARTESISCH NAAR POOL

Als we een punt kennen in Cartesiaanse coördinaten (x, y) en we willen dit omzetten in poolcoördinaten (r, θ), beginnen we met het oplossen van een rechthoekige driehoek met twee bekende zijden.

Wat is bijvoorbeeld (12, 5) in poolcoördinaten?

OPLOSSING

Gebruik de stelling van Pythagoras om de lange zijde (hypotenusa) te vinden.

^r2 = 12 ² + 5 ²

^r2 = 169

r = 13

De tweede stap is om de tangensfunctie te gebruiken om de hoek te vinden,

\(\tanθ = {5 \over 12}\)

\(θ = \tan^{-1} {\frac{5}{12}} = 22.6⁰ \) (tot op één decimaal).

Antwoord: Het punt (12,5) is (13, 22,6°) in poolcoördinaten.

OMZETTEN VAN POLAR NAAR CARTESIAANS

Als we een punt kennen in poolcoördinaten (r, θ), en we willen het omzetten in cartesiaanse coördinaten (x,y), lossen we een rechthoekige driehoek op met een bekende schuine zijde en hoek.

Bijvoorbeeld: converteer (13, 22,6°) naar Cartesiaanse coördinaten.

OPLOSSING

Gebruik de cosinusfunctie voor x: \(\cos 22.6⁰ = \frac{x}{13}\)

x = \(13 \times \cos 22.6⁰\)

x = 13 × 0,923

x = 12.002

x = 12 (afronden)

Gebruik de sinusfunctie voor y: \(\sin 22.6⁰ = \frac{y}{13}\)

y = 13 × \(\sin 22.6⁰\)

y = 13 × 0,391

j = 4.996

y = 5 (afronden)

Antwoord: Het punt (13, 22,6°) is (12, 5) in Cartesiaanse coördinaten.