Back to the topics list

współrzędne biegunowe

Współrzędne biegunowe to sposób reprezentacji punktu w przestrzeni.

Słup

B- oś biegunowa

r- Współrzędna promieniowa

θ — współrzędna kątowa

Biegunowy układ współrzędnych odnosi się do dwuwymiarowego układu współrzędnych, w którym na każdy punkt na płaszczyźnie wpływa odległość od punktu odniesienia i kąt względem kierunku odniesienia. Tak więc we współrzędnych biegunowych mówimy o odległości punktu od bieguna A, który jest tutaj przedstawiony jako r, oraz o kącie, jaki tworzy z osią, aby dotrzeć do punktu D, który tutaj jest θ.

Punkt odniesienia (który jest analogiczny do początku kartezjańskiego układu współrzędnych) jest nazywany biegunem . Promień biegnący od bieguna w kierunku odniesienia to tak zwana oś biegunowa . Promień, odległość promieniowa lub współrzędna promieniowa to odległość od bieguna. Kąt z bieguna jest określany jako azymut , kąt biegunowy lub współrzędna kątowa.

Aby zdefiniować punkt we współrzędnych biegunowych, używamy notacji (r, θ), gdzie r jest odległością od początku do punktu, a θ jest kątem mierzonym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od osi biegunowej do linii łączącej początek z punktem .

Aby przeliczyć współrzędne biegunowe na prostokątne (tradycyjny układ (x, y)), używamy następujących wzorów:

\(x = r \times \cosθ\)

\(y = r \times \sinθ\)

I odwrotnie, aby przekonwertować współrzędne prostokątne na współrzędne biegunowe, używamy wzorów:

\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)

\(θ = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)

Tutaj, opalenizna ^-1 to funkcja, która przyjmuje dwa argumenty (y i x) i zwraca kąt między dodatnią osią x a prostą przechodzącą przez początek i (x, y), mierzony w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Współrzędne biegunowe są szczególnie przydatne w sytuacjach związanych z symetrią kołową lub obrotową, takich jak opisywanie pozycji punktów na kole lub ruch wahadła. Są również szeroko stosowane w fizyce i inżynierii do opisywania ruchu obiektów we współrzędnych biegunowych, takich jak satelity krążące wokół Ziemi.

KONWERSJA

Aby przekonwertować współrzędną biegunową na współrzędną kartezjańską lub odwrotnie, używamy trójkąta.

KONWERSJA Z KARTEZJANU NA POLAR

Jeśli znamy punkt we współrzędnych kartezjańskich (x, y) i chcemy go przeliczyć na współrzędne biegunowe (r, θ), zaczynamy od rozwiązania trójkąta prostokątnego o dwóch znanych bokach.

Na przykład, co to jest (12, 5) we współrzędnych biegunowych?

ROZWIĄZANIE

Użyj twierdzenia Pitagorasa, aby znaleźć długi bok (przeciwprostokątną).

r ² = 12 ² + 5 ²

^r2 = 169

r = 13

Drugim krokiem jest użycie funkcji tangens do znalezienia kąta,

\(\tanθ = {5 \over 12}\)

\(θ = \tan^{-1} {\frac{5}{12}} = 22.6⁰ \) (z dokładnością do jednego miejsca po przecinku).

Odpowiedź: Punkt (12,5) to (13, 22,6°) we współrzędnych biegunowych.

KONWERSJA Z POLARNEGO NA KARTEZJAN

Jeśli znamy punkt we współrzędnych biegunowych (r, θ) i chcemy go przeliczyć na współrzędne kartezjańskie (x, y), rozwiązujemy trójkąt prostokątny o znanej przeciwprostokątnej i kącie.

Na przykład: przelicz (13, 22,6°) na współrzędne kartezjańskie.

ROZWIĄZANIE

Użyj funkcji cosinus dla x: \(\cos 22.6⁰ = \frac{x}{13}\)

x = \(13 \times \cos 22.6⁰\)

x = 13 × 0,923

x = 12,002

x = 12 (zaokrąglij)

Użyj funkcji sinus dla y: \(\sin 22.6⁰ = \frac{y}{13}\)

y = 13 × \(\sin 22.6⁰\)

y = 13 × 0,391

y = 4,996

y = 5 (zaokrąglij)

Odpowiedź: Punkt (13, 22,6°) to (12, 5) we współrzędnych kartezjańskich.