Back to the topics list

polära koordinater

Polära koordinater är ett sätt att representera en punkt i rymden.

En stång

B- Polaraxeln

r- Radiell koordinat

θ - Vinkelkoordinat

Ett polärt koordinatsystem avser ett tvådimensionellt koordinatsystem där varje punkt på ett plan påverkas av ett avstånd från en referenspunkt och en vinkel från en referensriktning. Så i polära koordinater talar vi om avståndet för punkten från pol A som här representeras som r, och vinkeln som den gör med axeln för att nå punkt D som är θ här.

Referenspunkten (som är analog med ursprunget för ett kartesiskt koordinatsystem) kallas polen . Strålen från polen i referensriktningen är vad som kallas polaxeln . Radie, radiellt avstånd eller radiell koordinat är avståndet från polen. Vinkeln från polen kallas azimut , polarvinkel eller vinkelkoordinat.

För att definiera en punkt i polära koordinater använder vi notationen (r, θ), där r är avståndet från origo till punkten, och θ är vinkeln mätt moturs från polaxeln till linjen som förbinder origo till punkten .

För att konvertera mellan polära och rektangulära koordinater (det traditionella (x, y) systemet), använder vi följande formler:

\(x = r \times \cosθ\)

\(y = r \times \sinθ\)

Omvänt, för att konvertera från rektangulära koordinater till polära koordinater, använder vi formlerna:

\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)

\(θ = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)

Här, brun ^-1 är en funktion som tar två argument (y och x) och returnerar vinkeln mellan den positiva x-axeln och linjen som går genom origo och (x, y), mätt moturs.

Polära koordinater är särskilt användbara i situationer som involverar cirkulär eller rotationssymmetri, som att beskriva positionerna för punkter på ett hjul eller rörelsen av en pendel. De används också flitigt inom fysik och teknik för att beskriva rörelsen hos objekt i polära koordinater, till exempel satelliter som kretsar runt jorden.

KONVERTERAR

För att omvandla en från en polär koordinat till en kartesisk koordinat eller vice versa använder vi en triangel.

KONVERTERAR FRÅN CARTESIAN TILL POLAR

Om vi känner till en punkt i kartesiska koordinater (x, y) och vi vill omvandla den till polära koordinater (r, θ), börjar vi med att lösa en rätvinklig triangel med två sidor som är kända.

Till exempel, Vad är (12, 5) i polära koordinater?

LÖSNING

Använd Pythagoras sats för att hitta långsidan (hypotenusa).

r ² = 12 ² + 5 ²

^r2 = 169

r = 13

Det andra steget är att använda tangentfunktionen för att hitta vinkeln,

\(\tanθ = {5 \over 12}\)

\(θ = \tan^{-1} {\frac{5}{12}} = 22.6⁰ \) (till en decimalkomma).

Svar: Punkten (12,5) är (13, 22,6°) i polära koordinater.

KONVERTERAR FRÅN POLAR TILL CARTESIAN

Om vi känner till en punkt i polära koordinater (r, θ), och vi vill omvandla den till kartesiska koordinater (x,y), löser vi en rätvinklig triangel med en känd hypotenusa och vinkel.

Till exempel: konvertera (13, 22,6°) till kartesiska koordinater.

LÖSNING

Använd cosinusfunktionen för x: \(\cos 22.6⁰ = \frac{x}{13}\)

x = \(13 \times \cos 22.6⁰\)

x = 13 × 0,923

x = 12,002

x = 12 (avrunda)

Använd sinusfunktionen för y: \(\sin 22.6⁰ = \frac{y}{13}\)

y = 13 × \(\sin 22.6⁰\)

y = 13 × 0,391

y = 4,996

y = 5 (runda av)

Svar: Punkten (13, 22,6°) är (12, 5) i kartesiska koordinater.