พิกัดเชิงขั้วเป็นวิธีการแสดงจุดในอวกาศ
ขั้วโลก
B- แกนขั้วโลก
r- พิกัดเรเดียล
θ - พิกัดเชิงมุม
ระบบพิกัดเชิงขั้ว หมายถึงระบบพิกัดสองมิติที่ทุกจุดบนระนาบได้รับอิทธิพลจากระยะห่างจากจุดอ้างอิงและมุมจากทิศทางอ้างอิง ดังนั้นในพิกัดเชิงขั้ว เราพูดถึงระยะห่างของจุดจากขั้ว A ซึ่งแสดงตรงนี้เป็น r และมุมที่ทำกับแกนเพื่อไปถึงจุด D ซึ่งก็คือ θ ตรงนี้
จุดอ้างอิง (ซึ่งคล้ายกับจุดกำเนิดของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน) เรียกว่า ขั้ว รังสีจากขั้วในทิศทางอ้างอิงคือสิ่งที่เรียกว่า แกนขั้วโลก รัศมี ระยะทางในแนวรัศมี หรือพิกัดแนวรัศมี คือระยะทางจากเสา มุมจากขั้วเรียกว่า แอซิมัท มุมขั้ว หรือพิกัดเชิงมุม
ในการกำหนดจุดในพิกัดเชิงขั้ว เราใช้สัญลักษณ์ (r, θ) โดยที่ r คือระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังจุด และ θ คือมุมที่วัดทวนเข็มนาฬิกาจากแกนเชิงขั้วไปยังเส้นที่เชื่อมต่อจุดกำเนิดไปยังจุด .
ในการแปลงระหว่างพิกัดเชิงขั้วและสี่เหลี่ยม (ระบบดั้งเดิม (x, y)) เราใช้สูตรต่อไปนี้:
\(x = r \times \cosθ\)
\(y = r \times \sinθ\)
ในทางกลับกัน ในการแปลงจากพิกัดสี่เหลี่ยมเป็นพิกัดเชิงขั้ว เราใช้สูตร:
\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)
\(θ = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
ที่นี่,
พิกัดเชิงขั้วมีประโยชน์อย่างยิ่งในสถานการณ์ที่เกี่ยวข้องกับสมมาตรแบบวงกลมหรือแบบหมุน เช่น การอธิบายตำแหน่งของจุดบนวงล้อหรือการเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม นอกจากนี้ยังใช้อย่างกว้างขวางในฟิสิกส์และวิศวกรรมเพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุในพิกัดเชิงขั้ว เช่น ดาวเทียมที่โคจรรอบโลก
กำลังแปลง
ในการแปลงจากพิกัดเชิงขั้วเป็นพิกัดคาร์ทีเซียนหรือกลับกัน เราใช้รูปสามเหลี่ยม
การแปลงจากคาร์ทีเซียนเป็นโพลาร์
ในกรณีที่เราทราบจุดในพิกัดคาร์ทีเซียน (x, y) และเราต้องการแปลงเป็นพิกัดเชิงขั้ว (r, θ) เราจะเริ่มต้นด้วยการแก้สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีสองด้านที่ทราบ
ตัวอย่างเช่น อะไรคือ (12, 5) ในพิกัดเชิงขั้ว?
สารละลาย
ใช้ทฤษฎีบทปีทาโกรัสเพื่อหาด้านยาว (ด้านตรงข้ามมุมฉาก)
r 2 = 12 2 + 5 2
r 2 = 169
r = 13
ขั้นตอนที่สองคือการใช้ฟังก์ชันสัมผัสเพื่อหามุม
\(\tanθ = {5 \over 12}\)
\(θ = \tan^{-1} {\frac{5}{12}} = 22.6⁰ \) (ทศนิยมหนึ่งตำแหน่ง)
คำตอบ: จุด (12,5) คือ (13, 22.6°) ในพิกัดเชิงขั้ว
การแปลงจากขั้วโลกเป็นคาร์ทีเซียน
ในกรณีที่เราทราบจุดในพิกัดเชิงขั้ว (r, θ) และเราต้องการแปลงเป็นพิกัดคาร์ทีเซียน (x,y) เราจะแก้ปัญหาสามเหลี่ยมมุมฉากด้วยด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมที่ทราบ
ตัวอย่างเช่น: แปลง (13, 22.6°) เป็นพิกัดคาร์ทีเซียน
สารละลาย
ใช้ฟังก์ชันโคไซน์สำหรับ x: \(\cos 22.6⁰ = \frac{x}{13}\)
x = \(13 \times \cos 22.6⁰\)
x = 13 × 0.923
x = 12.002
x = 12 (ปัดเศษ)
ใช้ฟังก์ชันไซน์สำหรับ y: \(\sin 22.6⁰ = \frac{y}{13}\)
y = 13 × \(\sin 22.6⁰\)
y = 13 × 0.391
y = 4.996
y = 5 (ปัดเศษ)
คำตอบ: จุด (13, 22.6°) คือ (12, 5) ในพิกัดคาร์ทีเซียน
