Back to the topics list

kutupsal koordinatlar

Kutupsal koordinat, uzayda bir noktayı temsil etmenin bir yoludur.

A- Kutup

B- Kutup Ekseni

r- Radyal Koordinat

θ - Açısal Koordinat

Bir kutupsal koordinat sistemi, bir düzlemdeki her noktanın bir referans noktasından olan bir mesafeden ve bir referans yönünden bir açıdan etkilendiği iki boyutlu bir koordinat sistemini ifade eder. Yani Kutupsal koordinatlarda, noktanın burada r ile temsil edilen A kutbuna olan uzaklığından ve burada θ olan D noktasına ulaşmak için eksenle yaptığı açıdan bahsediyoruz.

Referans noktasına (Kartezyen koordinat sisteminin orijinine benzer) kutup denir. Kutuptan referans yönünde gelen ışın, kutup ekseni olarak bilinen şeydir. Yarıçap, radyal mesafe veya radyal koordinat kutuptan olan mesafedir. Kutuptan açı, azimut , kutup açısı veya açısal koordinat olarak adlandırılır.

Kutupsal koordinatlarda bir noktayı tanımlamak için, (r, θ) gösterimini kullanırız; burada r, orijinden noktaya olan mesafedir ve θ, kutup ekseninden orijini noktaya bağlayan çizgiye saat yönünün tersine ölçülen açıdır. .

Kutupsal ve dikdörtgen koordinatlar (geleneksel (x, y) sistemi) arasında dönüşüm yapmak için aşağıdaki formülleri kullanırız:

\(x = r \times \cosθ\)

\(y = r \times \sinθ\)

Tersine, dikdörtgen koordinatlardan kutupsal koordinatlara dönüştürmek için aşağıdaki formülleri kullanırız:

\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)

\(θ = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)

Burada, bronz ^-1 iki argüman (y ve x) alan ve pozitif x ekseni ile orijinden geçen çizgi ve (x, y) arasındaki açıyı saat yönünün tersine ölçen bir işlevdir.

Kutupsal koordinatlar, bir tekerlek üzerindeki noktaların konumlarını veya bir sarkacın hareketini tarif etmek gibi dairesel veya dönme simetrisini içeren durumlarda özellikle yararlıdır. Ayrıca fizik ve mühendislikte, dünyanın yörüngesinde dönen uydular gibi kutupsal koordinatlardaki nesnelerin hareketini tanımlamak için yaygın olarak kullanılırlar.

DÖNÜŞTÜRME

Birini kutupsal koordinattan Kartezyen koordinata dönüştürmek veya tersini yapmak için bir üçgen kullanırız.

KARTESİYENDEN KUTUBA DÖNÜŞÜM

Kartezyen Koordinatlarda (x, y) bir noktayı biliyorsak ve onu kutupsal koordinatlara (r, θ) dönüştürmek istiyorsak, iki kenarı bilinen bir dik üçgeni çözerek başlıyoruz.

Örneğin, kutupsal Koordinatlarda (12, 5) nedir?

ÇÖZÜM

Uzun kenarı (hipotenüs) bulmak için Pisagor Teoremini kullanın.

² = 12 ² + 5 ²

² = 169

r = 13

İkinci adım, açıyı bulmak için teğet işlevini kullanmaktır,

\(\tanθ = {5 \over 12}\)

\(θ = \tan^{-1} {\frac{5}{12}} = 22.6⁰ \) (bir ondalık haneye kadar).

Cevap: Kutup Koordinatlarında (12,5) noktası (13, 22.6°)'dir.

KUTUPTAN KARTESİYENE DÖNÜŞTÜRME

Kutup Koordinatlarında (r, θ) bir noktayı biliyorsak ve onu Kartezyen Koordinatlara (x,y) dönüştürmek istiyorsak, hipotenüsü ve açısı bilinen bir dik üçgen çözeriz.

Örneğin: (13, 22.6°)'yi Kartezyen Koordinatlara dönüştürün.

ÇÖZÜM

x için Kosinüs İşlevini kullanın: \(\cos 22.6⁰ = \frac{x}{13}\)

x = \(13 \times \cos 22.6⁰\)

x = 13 × 0,923

x = 12.002

x = 12 (yuvarlama)

y için Sinüs İşlevini kullanın: \(\sin 22.6⁰ = \frac{y}{13}\)

y = 13 × \(\sin 22.6⁰\)

y = 13 × 0,391

y = 4.996

y = 5 (yuvarlama)

Cevap: Kartezyen Koordinatlarda (13, 22.6°) noktası (12, 5)'dir.