Back to the topics list

полярні координати

Полярна координата - це спосіб зображення точки в просторі.

А- поляк

B- Полярна вісь

r- радіальна координата

θ - кутова координата

Полярна система координат відноситься до двовимірної системи координат, у якій кожна точка на площині залежить від відстані від точки відліку та кута від напрямку відліку. Отже, у полярних координатах ми говоримо про відстань точки від полюса A, яка тут представлена як r, і кут, який вона складає з віссю, щоб досягти точки D, який тут дорівнює θ.

Точка відліку (яка є аналогом початку декартової системи координат) називається полюсом . Промінь від полюса в напрямку відліку називається полярною віссю . Радіус, радіальна відстань або радіальна координата — це відстань від полюса. Кут від полюса називають азимутом , полярним кутом або кутовою координатою.

Для визначення точки в полярних координатах ми використовуємо позначення (r, θ), де r — відстань від початку координат до точки, а θ — кут, виміряний проти годинникової стрілки від полярної осі до лінії, що з’єднує початок координат із точкою. .

Для перетворення полярних координат на прямокутні (традиційна система (x, y)) ми використовуємо такі формули:

\(x = r \times \cosθ\)

\(y = r \times \sinθ\)

І навпаки, для перетворення прямокутних координат у полярні використовуємо формули:

\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)

\(θ = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)

тут, загар ^-1 це функція, яка приймає два аргументи (y і x) і повертає кут між додатною віссю x і лінією, що проходить через початок координат і (x, y), виміряний проти годинникової стрілки.

Полярні координати особливо корисні в ситуаціях, пов’язаних із круговою або обертальною симетрією, наприклад, для опису положення точок на колесі або руху маятника. Вони також широко використовуються у фізиці та техніці для опису руху об’єктів у полярних координатах, таких як супутники, що обертаються навколо Землі.

ПЕРЕТВОРЕННЯ

Щоб перетворити полярну координату в декартову або навпаки, ми використовуємо трикутник.

ПЕРЕТВОРЕННЯ З ДЕКАРТОВОГО У ПОЛЯРНИЙ

Якщо ми знаємо точку в декартових координатах (x, y) і хочемо перетворити її на полярні координати (r, θ), ми починаємо з розв’язання прямокутного трикутника з двома відомими сторонами.

Наприклад, що таке (12, 5) у полярних координатах?

РІШЕННЯ

Використовуйте теорему Піфагора, щоб знайти довгу сторону (гіпотенузу).

r ² = 12 ² + 5 ²

r ² = 169

r = 13

Другим кроком є використання функції тангенса для знаходження кута,

\(\tanθ = {5 \over 12}\)

\(θ = \tan^{-1} {\frac{5}{12}} = 22.6⁰ \) (з точністю до однієї коми).

Відповідь: точка (12,5) дорівнює (13, 22,6°) у полярних координатах.

ПЕРЕТВОРЕННЯ З ПОЛЯРНОГО НА ДЕКАРТОВИЙ

Якщо ми знаємо точку в полярних координатах (r, θ) і хочемо перетворити її на декартові координати (x, y), ми розв’язуємо прямокутний трикутник із відомими гіпотенузою та кутом.

Наприклад: конвертувати (13, 22,6°) у декартові координати.

РІШЕННЯ

Використовуйте функцію косинуса для x: \(\cos 22.6⁰ = \frac{x}{13}\)

x = \(13 \times \cos 22.6⁰\)

х = 13 × 0,923

х = 12,002

х = 12 (округлення)

Використовуйте функцію синуса для y: \(\sin 22.6⁰ = \frac{y}{13}\)

y = 13 × \(\sin 22.6⁰\)

y = 13 × 0,391

y = 4,996

y = 5 (округляємо)

Відповідь: точка (13, 22,6°) дорівнює (12, 5) у декартових координатах.