Back to the topics list

قطبی کوآرڈینیٹ

پولر کوآرڈینیٹ خلا میں کسی نقطہ کی نمائندگی کرنے کا ایک طریقہ ہے۔

ایک کھمبا

B- قطبی محور

r- ریڈیل کوآرڈینیٹ

θ - کونیی کوآرڈینیٹ

پولر کوآرڈینیٹ سسٹم سے مراد ایک دو جہتی کوآرڈینیٹ سسٹم ہے جس میں ہوائی جہاز کا ہر نقطہ حوالہ کے نقطہ سے فاصلے اور حوالہ کی سمت سے ایک زاویہ سے متاثر ہوتا ہے۔ تو قطبی نقاط میں، ہم قطب A سے نقطہ کے فاصلے کے بارے میں بات کرتے ہیں جسے یہاں r کے طور پر دکھایا گیا ہے، اور وہ زاویہ جو یہ محور کے ساتھ نقطہ D تک پہنچنے کے لیے بناتا ہے جو یہاں θ ہے۔

حوالہ نقطہ (جو ایک کارٹیشین کوآرڈینیٹ سسٹم کی اصل سے مشابہ ہے) کو قطب کہا جاتا ہے۔ حوالہ کی سمت میں قطب سے نکلنے والی کرن وہی ہے جسے قطبی محور کہا جاتا ہے۔ ریڈیئس، ریڈیل فاصلہ، یا ریڈیل کوآرڈینیٹ قطب سے فاصلہ ہے۔ قطب سے آنے والے زاویہ کو ازیموت ، قطبی زاویہ، یا کونیی کوآرڈینیٹ کہا جاتا ہے۔

قطبی نقاط میں ایک نقطہ کی وضاحت کرنے کے لیے، ہم اشارے (r، θ) کا استعمال کرتے ہیں، جہاں r اصل سے نقطہ تک کا فاصلہ ہے، اور θ قطبی محور سے اصل کو نقطہ سے جوڑنے والی لائن تک گھڑی کی مخالف سمت میں ماپا جانے والا زاویہ ہے۔ .

قطبی اور مستطیل نقاط (روایتی (x، y) نظام) کے درمیان تبدیل کرنے کے لیے، ہم درج ذیل فارمولے استعمال کرتے ہیں:

\(x = r \times \cosθ\)

\(y = r \times \sinθ\)

اس کے برعکس، مستطیل نقاط سے قطبی نقاط میں تبدیل کرنے کے لیے، ہم فارمولے استعمال کرتے ہیں:

\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)

\(θ = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)

یہاں، ٹین ^-1 ایک فنکشن ہے جو دو دلائل (y اور x) لیتا ہے اور مثبت x-axis اور اصل سے گزرنے والی لائن کے درمیان زاویہ لوٹاتا ہے اور (x, y)، گھڑی کی مخالف سمت میں ماپا جاتا ہے۔

قطبی نقاط خاص طور پر ایسے حالات میں کارآمد ہوتے ہیں جن میں سرکلر یا گردشی ہم آہنگی شامل ہوتی ہے، جیسے کہ پہیے پر پوائنٹس کی پوزیشن یا پینڈولم کی حرکت کو بیان کرنا۔ ان کا استعمال فزکس اور انجینئرنگ میں قطبی نقاط میں اشیاء کی حرکت کو بیان کرنے کے لیے بھی کیا جاتا ہے، جیسے کہ زمین کے گرد چکر لگانے والے سیٹلائٹ۔

تبدیل کرنا

ایک کو قطبی کوآرڈینیٹ سے کارٹیسین کوآرڈینیٹ میں تبدیل کرنے کے لیے یا اس کے برعکس، ہم ایک مثلث استعمال کرتے ہیں۔

کارٹیشین سے پولر میں تبدیل ہو رہا ہے۔

اگر ہم کارٹیشین کوآرڈینیٹس (x, y) میں ایک نقطہ جانتے ہیں اور ہم اسے قطبی نقاط (r, θ) میں تبدیل کرنا چاہتے ہیں، تو ہم ایک دائیں مثلث کو دو اطراف کے ساتھ حل کرکے شروع کرتے ہیں جو معلوم ہیں۔

مثال کے طور پر، قطبی نقاط میں (12، 5) کیا ہے؟

حل

لمبی سائیڈ (ہائپوٹینوز) تلاش کرنے کے لیے پائیتھاگورس تھیوریم کا استعمال کریں۔

r ² = 12 ² + 5 ²

r ² = 169

r = 13

دوسرا مرحلہ زاویہ کو تلاش کرنے کے لیے ٹینجنٹ فنکشن کا استعمال کرنا ہے،

\(\tanθ = {5 \over 12}\)

\(θ = \tan^{-1} {\frac{5}{12}} = 22.6⁰ \) (ایک اعشاریہ تک)۔

جواب: پولر کوآرڈینیٹس میں پوائنٹ (12,5) (13, 22.6°) ہے۔

قطبی سے کارٹیشین میں تبدیل ہو رہا ہے۔

اگر ہم پولر کوآرڈینیٹس (r، θ) میں کسی نقطہ کو جانتے ہیں، اور ہم اسے کارٹیشین کوآرڈینیٹس (x،y) میں تبدیل کرنا چاہتے ہیں، تو ہم ایک معروف فرضی اور زاویہ کے ساتھ ایک صحیح مثلث حل کرتے ہیں۔

مثال کے طور پر: (13، 22.6°) کو کارٹیشین کوآرڈینیٹس میں تبدیل کریں۔

حل

x کے لیے کوزائن فنکشن استعمال کریں: \(\cos 22.6⁰ = \frac{x}{13}\)

x = \(13 \times \cos 22.6⁰\)

x = 13 × 0.923

x = 12.002

x = 12 (راؤنڈ آف)

y کے لیے سائن فنکشن استعمال کریں: \(\sin 22.6⁰ = \frac{y}{13}\)

y = 13 × \(\sin 22.6⁰\)

y = 13 × 0.391

y = 4.996

y = 5 (راؤنڈ آف)

جواب: پوائنٹ (13, 22.6°) کارٹیشین کوآرڈینیٹس میں (12, 5) ہے۔