Nous allons apprendre ici des opérations simples sur les matrices.
1) Ajout de matrices
Si deux matrices A et B sont du même ordre, on dit qu'elles sont compatibles pour l'addition. Leur somme A + B est la matrice obtenue en additionnant les éléments correspondants de A et B
Exemple:
\( A = \begin{bmatrix} 1&2 \\3&4 \\ \end{bmatrix}\) et \(B = \begin{bmatrix} 2&3 \\0&5 \\ \end{bmatrix} \) , alors
\(A + B = \begin{bmatrix} 1+2 & 2+3 \\3+0 & 4+5 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\3 & 9 \\ \end{bmatrix}\)
2) Soustraction de matrices
Si deux matrices A et B sont du même ordre, on dit qu'elles sont compatibles pour la soustraction. Leur différence A − B est une matrice obtenue en soustrayant des éléments de B des éléments correspondants de A
\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\3 & 4 \\ \end{bmatrix}\) et \(B = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\0 & 5 \\ \end{bmatrix} \) , alors
\(A - B = \begin{bmatrix} 1-2 & 2-3 \\3-0 & 4-5 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\3 & -1 \\ \end{bmatrix}\)
3) Multiplication d'une matrice par un nombre
Si k est un nombre et A est une matrice alors la matrice kA est obtenue en multipliant chaque élément de la matrice A par le nombre k
\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\3 & 4 \\ \end{bmatrix}\) et k = 5
alors \(5 A = \begin{bmatrix} 5\times 1 & 5\times2 \\5\times3 & 5\times4 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 10 \\15 & 20 \\ \end{bmatrix}\)
4) Multiplication de matrices
Deux matrices A et B sont dites compatibles pour le produit AB, si et seulement si le nombre de colonnes dans A est égal au nombre de lignes dans B. Si A est d'ordre m × n et B est d'ordre n × p alors AB est d'ordre m × p
(i,k) ème élément de AB = somme des produits des éléments de la i ème ligne de A avec les éléments correspondants de la k ème colonne de B
Par exemple:
\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\3 & 4 \\ \end{bmatrix} B = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\)
Comme A est une matrice d'ordre 2 × 2 et B est une matrice d'ordre 2 × 1, leur produit A × B est donc possible. Mais B×A n'est pas réalisable car le nombre de colonnes de B n'est pas égal au nombre de lignes de A
\( A \times B = \begin{bmatrix} 1\times1+2\times2 \\3\times1+4\times2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\11 \\ \end{bmatrix}\)
