Impareremo qui semplici operazioni sulle matrici.
1) Addizione di matrici
Se due matrici A e B sono dello stesso ordine, si dice che sono compatibili per addizione. La loro somma A + B è la matrice ottenuta sommando gli elementi corrispondenti di A e B
Esempio:
\( A = \begin{bmatrix} 1&2 \\3&4 \\ \end{bmatrix}\) e \(B = \begin{bmatrix} 2&3 \\0&5 \\ \end{bmatrix} \) , quindi
\(A + B = \begin{bmatrix} 1+2 & 2+3 \\3+0 & 4+5 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\3 & 9 \\ \end{bmatrix}\)
2) Sottrazione di matrici
Se due matrici A e B sono dello stesso ordine, diciamo che sono compatibili per la sottrazione. La loro differenza A − B è una matrice ottenuta sottraendo elementi di B dai corrispondenti elementi di A
\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\3 & 4 \\ \end{bmatrix}\) e \(B = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\0 & 5 \\ \end{bmatrix} \) , quindi
\(A - B = \begin{bmatrix} 1-2 & 2-3 \\3-0 & 4-5 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\3 & -1 \\ \end{bmatrix}\)
3) Moltiplicazione di una matrice per un numero
Se k è un numero e A è una matrice allora la matrice kA si ottiene moltiplicando ogni elemento della matrice A per il numero k
\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\3 & 4 \\ \end{bmatrix}\) e k = 5
allora \(5 A = \begin{bmatrix} 5\times 1 & 5\times2 \\5\times3 & 5\times4 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 10 \\15 & 20 \\ \end{bmatrix}\)
4) Moltiplicazione di matrici
Due matrici A e B si dicono compatibili per il prodotto AB, se e solo se il numero di colonne in A è uguale al numero di righe in B. Se A è di ordine m × n e B è di ordine n × p allora AB è di ordine m × p
(i,k) esimo elemento di AB = somma dei prodotti degli elementi della i esima riga di A con i corrispondenti elementi della k esima colonna di B
Per esempio:
\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\3 & 4 \\ \end{bmatrix} B = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\)
Poiché A è una matrice d'ordine 2×2 e B è una matrice d'ordine 2×1, quindi il loro prodotto A×B è possibile. Ma B×A non è ammissibile in quanto il numero di colonne di B non è uguale al numero di righe di A
\( A \times B = \begin{bmatrix} 1\times1+2\times2 \\3\times1+4\times2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\11 \\ \end{bmatrix}\)
