Здесь мы изучим простые операции с матрицами.
1) Добавление матриц
Если две матрицы A и B одного порядка, то говорят, что они совместимы для сложения. Их сумма A + B представляет собой матрицу, полученную сложением соответствующих элементов A и B
Пример:
\( A = \begin{bmatrix} 1&2 \\3&4 \\ \end{bmatrix}\) и \(B = \begin{bmatrix} 2&3 \\0&5 \\ \end{bmatrix} \) , тогда
\(A + B = \begin{bmatrix} 1+2 & 2+3 \\3+0 & 4+5 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\3 & 9 \\ \end{bmatrix}\)
2) Вычитание матриц
Если две матрицы A и B одного порядка, говорят, что они совместимы для вычитания. Их разность A − B представляет собой матрицу, полученную вычитанием элементов B из соответствующих элементов A
\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\3 & 4 \\ \end{bmatrix}\) и \(B = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\0 & 5 \\ \end{bmatrix} \) , то
\(A - B = \begin{bmatrix} 1-2 & 2-3 \\3-0 & 4-5 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\3 & -1 \\ \end{bmatrix}\)
3) Умножение матрицы на число
Если k — число, а A — матрица, то матрица kA получается умножением каждого элемента матрицы A на число k.
\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\3 & 4 \\ \end{bmatrix}\) и k = 5
тогда \(5 A = \begin{bmatrix} 5\times 1 & 5\times2 \\5\times3 & 5\times4 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 10 \\15 & 20 \\ \end{bmatrix}\)
4) Умножение матриц
Говорят, что две матрицы A и B совместимы для произведения AB тогда и только тогда, когда количество столбцов в A равно количеству строк в B. Если A имеет порядок m × n, а B имеет порядок n × p, то AB имеет порядок m × p
(i,k) -й элемент AB = сумма произведений элементов i -й строки A на соответствующие элементы k -го столбца B
Например:
\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\3 & 4 \\ \end{bmatrix} B = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\)
Поскольку A представляет собой матрицу порядка 2 × 2, а B представляет собой матрицу порядка 2 × 1, следовательно, их произведение A × B возможно. Но B × A невозможно, так как количество столбцов B не равно количеству строк A
\( A \times B = \begin{bmatrix} 1\times1+2\times2 \\3\times1+4\times2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\11 \\ \end{bmatrix}\)
