Ở đây chúng ta sẽ học các phép toán đơn giản trên ma trận.
1) Phép cộng ma trận
Nếu hai ma trận A và B cùng bậc thì ta nói chúng tương thích với phép cộng. Tổng A + B của chúng là ma trận thu được bằng cách cộng các phần tử tương ứng của A và B
Ví dụ:
\( A = \begin{bmatrix} 1&2 \\3&4 \\ \end{bmatrix}\) và \(B = \begin{bmatrix} 2&3 \\0&5 \\ \end{bmatrix} \) , sau đó
\(A + B = \begin{bmatrix} 1+2 & 2+3 \\3+0 & 4+5 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\3 & 9 \\ \end{bmatrix}\)
2) Phép trừ ma trận
Nếu hai ma trận A và B cùng bậc thì ta nói chúng tương thích với phép trừ. Hiệu của chúng A − B là một ma trận thu được bằng cách trừ các phần tử của B khỏi các phần tử tương ứng của A
\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\3 & 4 \\ \end{bmatrix}\) và \(B = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\0 & 5 \\ \end{bmatrix} \) , sau đó
\(A - B = \begin{bmatrix} 1-2 & 2-3 \\3-0 & 4-5 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\3 & -1 \\ \end{bmatrix}\)
3) Nhân một ma trận với một số
Nếu k là số và A là ma trận thì ma trận kA thu được bằng cách nhân từng phần tử của ma trận A với số k
\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\3 & 4 \\ \end{bmatrix}\) và k = 5
thì \(5 A = \begin{bmatrix} 5\times 1 & 5\times2 \\5\times3 & 5\times4 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 10 \\15 & 20 \\ \end{bmatrix}\)
4) Nhân ma trận
Hai ma trận A và B được gọi là tương thích cho tích AB, khi và chỉ khi số cột trong A bằng số hàng trong B. Nếu A cấp m × n và B cấp n × p thì AB có thứ tự m × p
(i,k) phần tử thứ của AB = tổng tích các phần tử của hàng thứ i của A với các phần tử tương ứng của cột thứ k của B
Ví dụ:
\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\3 & 4 \\ \end{bmatrix} B = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\)
Vì A là ma trận cấp 2×2 và B là ma trận cấp 2×1 nên tích của chúng A×B là khả thi. Nhưng B×A không khả thi vì số cột của B không bằng số hàng của A
\( A \times B = \begin{bmatrix} 1\times1+2\times2 \\3\times1+4\times2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\11 \\ \end{bmatrix}\)
