المشتق هو نسبة التغير في قيمة الدالة إلى التغير في المتغير المستقل.
تشير مشتقات الدالة في مرحلة ما إلى معدل تغير الدالة عند تلك النقطة. يمكن حساب معدل التغير من خلال معدل تغير الدالة \(\Delta y\) إلى تغير المتغير المستقل \(\Delta x\) ، وتعتبر هذه النسبة في حد \(\Delta x \to 0\) . يمثل مشتق الدالة f(x) معدل تغيرها ويُشار إليه إما بـ \(f\prime(x) \) أو df ∕ dx
دعونا نلقي نظرة أولاً على تعريفه وتوضيحًا مصورًا للمشتق.
مشتق f هو معدل تغير f . انظر إلى الرسم البياني للمنحنى أعلاه. إنه يمثل قيمة f(x) عند نقطتين x و \(x + \Delta x \) ، مثل f(x) و \(f(x + \Delta x)\) على التوالي. عندما تجعل الفاصل الزمني بين هاتين النقطتين أصغر حتى يصبح متناهيًا في الصغر، لدينا حد \(\Delta x \to 0\) .
\(f\prime(x) = \frac{df }{dx} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x}\)
يمثل البسط \(f(x + \Delta x) - f(x)\) التغيير المقابل في قيمة الدالة f خلال الفترة \(\Delta x\) . وهذا يجعل مشتقة الدالة f عند النقطة x، معدل تغير f عند تلك النقطة.
خطوات العثور على مشتق الدالة f(x) عند النقطة x هي:
1. قم بتكوين حاصل الفرق \(\frac{dy }{dx} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
2. بسّط خارج القسمة، وألغِه حيثما كان ذلك ممكنًا.
3. أوجد المشتقة \(f\prime(x)\) مع تطبيق النهاية على خارج القسمة. إذا كانت هذه النهاية موجودة، فإننا نقول أن الدالة f(x) قابلة للاشتقاق عند x.
دعونا نحاول استخلاص المشتقات لبعض الوظائف
مثال 1 : احسب مشتقة الدالة y = x
\(y\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}1=1\)
مثال 2: أوجد مشتقة الدالة f(x) = 5x + 2
\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = [5(x+\Delta x) +2] - [5x +2] = 5x + 5\Delta x + 2 - 5x - 2 = 5\Delta x\)
نسبة الفرق هي \(\frac{5\Delta x}{\Delta x}\) = 5
\(\therefore\textrm{ المشتق } f\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}5 = 5\)
مثال 3: أوجد مشتقة المعادلة التربيعية f(x) = x 2 . دعونا نستخدم الرسم البياني ونفهم المشتقات بطريقة أفضل.
و(خ) = س 2
\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = (x+\Delta x)^2 - x^2\)
\(\Delta y = x^2 + 2x\Delta x +\Delta x^2-x^2 = \Delta x(2x+\Delta x)\)
مشتقة x 2 هي 2x. وهذا يعني أنه بالنسبة للدالة x 2 ، فإن معدل التغير عند أي نقطة هو 2x.
معدل تغير f عند x = 2 هو قيمة \(f\prime(x)\) عند x = 2، أي \(f\prime (x) = 4\)
مشتقات الوظائف المشتركة
| وظيفة | مشتركة | دالة مشتق |
| ثابت | ج | 0 |
| خط | × | 1 |
| | ax | a |
| مربع | x 2 | 2x |
| الجذر التربيعي | \(\sqrt x\) | \(\frac{1}{2}x^{-1/2}\) |
| الأسي | e x | e x |
| اللوغاريتمات | \(\log_a(x)\) | 1/(x In(a)) |
| علم المثلثات(x بالراديان) | \(\sin(x)\) | \(\cos(x) \) |
| | \(\cos(x)\) | \(-\sin(x)\) |
| | \(\tan(x)\) | \(\sec^2(x)\) |
فيما يلي قواعد مفيدة لمساعدتك في إيجاد مشتقات العديد من الدوال:
- القاعدة الثابتة: f(x) = c ثم \(f\prime(x) = 0\)
- القاعدة المتعددة الثابتة: \(g(x) = c \cdot f(x) \textrm{ ثم } g\prime(x) = c \cdot f\prime(x)\)
- قاعدة الطاقة: \( f(x) = x^n \textrm{ ثم } f\prime(x) = nx^{n-1}\)
- قاعدة المجموع والفرق: \(h(x) = f(x) \pm g(x) \textrm{ ثم } h\prime(x) = f\prime(x) \pm g\prime(x)\)
- قاعدة المنتج: \(h(x) = f(x)g(x) \textrm{ ثم } h\prime(x) = f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)\)
- قاعدة القسمة: \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \textrm{ ثم } h\prime(x) = \frac{ f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)}{g(x)^2}\)
- قاعدة السلسلة: \(h(x) = f(g(x)) \textrm{ ثم } h\prime(x) = f\prime(g(x))g\prime(x)\)
ملاحظة: ميل خط المماس عند نقطة ما هو مشتقته عند تلك النقطة. إذا تم رسم خط مماس لمنحنى y = f(x) عند نقطة (x 0 , y 0 )، فسيتم الحصول على ميله (m) ببساطة عن طريق استبدال النقطة في مشتق الدالة.
مثال 4: اشتق 10x 5
\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(10x^5)}{dx}\)
\(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\) (تطبيق قاعدة القوة)
المثال 5: اشتقاق tan 2 x
\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(tan^2x)}{dx}\)
\(2\tan x^{2-1} \times \frac{d(\tan x)}{dx}\) (تطبيق قاعدة السلسلة)
\(2\tan x⋅ \sec ^2 x\)
