Back to the topics list
Google Play badge

törəmələri

Törəmə funksiyanın dəyərinin dəyişməsinin müstəqil dəyişəndə ​​dəyişməyə nisbətidir.
Bir nöqtədə funksiyanın törəmələri funksiyanın həmin nöqtədəki dəyişmə sürətini bildirir. Dəyişmə sürətini \(\Delta y\) funksiyasının müstəqil dəyişənin \(\Delta x\) dəyişməsinə dəyişmə sürəti ilə hesablamaq olar, bu nisbət \(\Delta x \to 0\) kimi həddə hesab olunur. \(\Delta x \to 0\) . f(x) funksiyasının törəməsi onun dəyişmə sürətini təmsil edir və ya \(f\prime(x) \) və ya df ∕ dx ilə işarələnir.

Əvvəlcə onun tərifinə və törəmənin şəkilli təsvirinə baxaq.

f-nin törəməsi f-nin dəyişmə sürətidir. Yuxarıdakı əyrinin qrafikinə baxın. O, f(x) dəyərini müvafiq olaraq f(x) və \(f \(x + \Delta x \) \(f(x + \Delta x)\) nöqtələrində təmsil edir. Bu iki nöqtə arasındakı intervalı sonsuz kiçik olana qədər kiçik etdikcə, bizim \(\Delta x \to 0\) limitimiz var.


\(f\prime(x) = \frac{df }{dx} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x}\)

\(f(x + \Delta x) - f(x)\) numeratoru f funksiyasının dəyərində \(\Delta x\) intervalında müvafiq dəyişikliyi təmsil edir. Bu, f funksiyasının x nöqtəsində törəməsini, f-nin bu nöqtədəki dəyişmə sürətini edir.

f(x) funksiyasının x nöqtəsində törəməsini tapmaq üçün addımlar:

1. Fərq nisbətini yaradın \(\frac{dy }{dx} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
2. Mümkün olan yerdə ləğv edərək nisbəti sadələşdirin.
3. Həddini hissəyə tətbiq edərək \(f\prime(x)\) törəməsini tapın. Əgər bu hədd mövcuddursa, o zaman f(x) funksiyasının x-də diferensiallaşdığını deyirik.

Gəlin bir neçə funksiya üçün törəmələr çıxarmağa çalışaq

Nümunə 1 : y = x funksiyasının törəməsini hesablayın

\(y\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}1=1\)


Misal 2: f(x) = 5x + 2 funksiyasının törəməsini tapın

bu 5x + 2 funksiyasının planlaşdırılmasıdır

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = [5(x+\Delta x) +2] - [5x +2] = 5x + 5\Delta x + 2 - 5x - 2 = 5\Delta x\)

Fərq nisbəti \(\frac{5\Delta x}{\Delta x}\) = 5

\(\therefore\textrm{ törəmə } f\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}5 = 5\)

Misal 3: f(x) = x 2 kvadrat tənliyinin törəməsini tapın. Qrafikdən istifadə edək və törəmələri daha yaxşı başa düşək.

f(x) = x 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = (x+\Delta x)^2 - x^2\)

\(\Delta y = x^2 + 2x\Delta x +\Delta x^2-x^2 = \Delta x(2x+\Delta x)\)

x 2 -nin törəməsi 2x-dir. Bu o deməkdir ki, x 2 funksiyası üçün istənilən nöqtədə dəyişmə sürəti 2x-dir.

f-nin x = 2-də dəyişmə sürəti x = 2-də \(f\prime(x)\) dəyəridir, yəni \(f\prime (x) = 4\)

Ümumi funksiyaların törəmələri

Ümumi funksiya funksiyası Törəmə
Sabit c 0
Xətt x 1
  balta a
Kvadrat x 2 2x
Kvadrat Kök \(\sqrt x\) \(\frac{1}{2}x^{-1/2}\)
Eksponensial e x e x
Loqarifmlər \(\log_a(x)\) 1/(x In(a))
Triqonometriya(x radyanla) \(\sin(x)\) \(\cos(x) \)
  \(\cos(x)\) \(-\sin(x)\)
  \(\tan(x)\)

\(\sec^2(x)\)

Bir çox funksiyaların törəmələrini işləməyinizə kömək edəcək faydalı qaydalar bunlardır:

  • Sabit Qayda: f(x) = c sonra \(f\prime(x) = 0\)
  • Sabit Çoxlu Qayda: \(g(x) = c \cdot f(x) \textrm{ sonra } g\prime(x) = c \cdot f\prime(x)\)
  • Güc Qaydası: \( f(x) = x^n \textrm{ sonra } f\prime(x) = nx^{n-1}\)
  • Cəm və Fərq Qaydası: \(h(x) = f(x) \pm g(x) \textrm{ sonra } h\prime(x) = f\prime(x) \pm g\prime(x)\)
  • Məhsul Qaydası: \(h(x) = f(x)g(x) \textrm{ sonra } h\prime(x) = f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)\)
  • Hissə Qaydası: \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \textrm{ sonra } h\prime(x) = \frac{ f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)}{g(x)^2}\)
  • Zəncir Qaydası: \(h(x) = f(g(x)) \textrm{ sonra } h\prime(x) = f\prime(g(x))g\prime(x)\)

Qeyd: Bir nöqtədə toxunan xəttin mailliyi onun həmin nöqtədəki törəməsidir. Əgər (x 0 , y 0 ) nöqtəsində y = f(x) əyrisi üçün toxunan xətt çəkilirsə, onda onun mailliyi (m) sadəcə funksiyanın törəməsindəki nöqtəni əvəz etməklə alınır.

Nümunə 4: 10x 5

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(10x^5)}{dx}\)

\(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\) (güc qaydasını tətbiq etməklə)

Misal 5: tan 2 x

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(tan^2x)}{dx}\)

\(2\tan x^{2-1} \times \frac{d(\tan x)}{dx}\) (zəncir qaydası tətbiq olunur)

\(2\tan x⋅ \sec ^2 x\)

Download Primer to continue