Back to the topics list
Google Play badge

ডেরিভেটিভস

একটি ডেরিভেটিভ হল স্বাধীন চলকের পরিবর্তনের জন্য ফাংশনের মান পরিবর্তনের একটি অনুপাত।
কোনো সময়ে কোনো ফাংশনের ডেরিভেটিভস সেই সময়ে কোনো ফাংশনের পরিবর্তনের হারকে নির্দেশ করে। পরিবর্তনের হার গণনা করা যেতে পারে ফাংশন \(\Delta y\) স্বাধীন চলকের পরিবর্তনের পরিবর্তনের হার দ্বারা, এই অনুপাতটিকে সীমা হিসাবে বিবেচনা করা হয় \(\Delta x \to 0\) \(\Delta x\) \(\Delta x \to 0\) । একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ f(x) এর পরিবর্তনের হারকে প্রতিনিধিত্ব করে এবং এটিকে \(f\prime(x) \) অথবা df ∕ dx দ্বারা চিহ্নিত করা হয়

আসুন প্রথমে এর সংজ্ঞা এবং ডেরিভেটিভের একটি সচিত্র চিত্র দেখি।

f এর ডেরিভেটিভ হল f এর পরিবর্তনের হার। উপরের একটি বক্ররেখার গ্রাফটি দেখুন। এটি যথাক্রমে f(x) এবং \(x + \Delta x \) হিসাবে দুটি বিন্দু x এবং \(f(x + \Delta x)\) এ f(x) এর মান উপস্থাপন করে। যেহেতু আপনি এই দুটি বিন্দুর মধ্যে ব্যবধানকে ছোট করবেন যতক্ষণ না এটি অসীমভাবে ছোট হয়, আমাদের একটি সীমা আছে \(\Delta x \to 0\) ।


\(f\prime(x) = \frac{df }{dx} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x}\)

লব \(f(x + \Delta x) - f(x)\) ব্যবধান \(\Delta x\) ধরে f ফাংশনের মানের সাথে সম্পর্কিত পরিবর্তনকে প্রতিনিধিত্ব করে। এটি x বিন্দুতে একটি ফাংশন f এর ডেরিভেটিভ করে, সেই বিন্দুতে f এর পরিবর্তনের হার।

x বিন্দুতে ফাংশন f(x) এর ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার ধাপ হল:

1. পার্থক্য ভাগফল গঠন করুন \(\frac{dy }{dx} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
2. ভাগফলকে সরল করুন, যেখানে সম্ভব বাতিল করুন।
3. ভাগফলের সীমা প্রয়োগ করে ডেরিভেটিভ \(f\prime(x)\) খুঁজুন। যদি এই সীমাটি বিদ্যমান থাকে, তাহলে আমরা বলি যে ফাংশন f(x) x এ পার্থক্যযোগ্য।

আসুন কয়েকটি ফাংশনের জন্য ডেরিভেটিভগুলি বের করার চেষ্টা করি

উদাহরণ 1 : ফাংশন y = x এর ডেরিভেটিভ গণনা করুন

\(y\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}1=1\)


উদাহরণ 2: ফাংশন f(x) = 5x + 2 এর ডেরিভেটিভ খুঁজুন

এটি ফাংশন 5x + 2 এর প্লটিং

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = [5(x+\Delta x) +2] - [5x +2] = 5x + 5\Delta x + 2 - 5x - 2 = 5\Delta x\)

পার্থক্য অনুপাত হল \(\frac{5\Delta x}{\Delta x}\) = 5

\(\therefore\textrm{ অমৌলিক } f\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}5 = 5\)

উদাহরণ 3: দ্বিঘাত সমীকরণ f(x) = x 2 এর ডেরিভেটিভ খুঁজুন। আসুন গ্রাফটি ব্যবহার করি এবং ডেরিভেটিভগুলিকে আরও ভালভাবে বুঝতে পারি।

f(x) = x 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = (x+\Delta x)^2 - x^2\)

\(\Delta y = x^2 + 2x\Delta x +\Delta x^2-x^2 = \Delta x(2x+\Delta x)\)

x 2 এর ডেরিভেটিভ হল 2x। এর মানে হল x 2 ফাংশনের জন্য, যেকোনো বিন্দুতে পরিবর্তনের হার 2x।

x = 2 এ f এর পরিবর্তনের হার হল \(f\prime(x)\) এর মান x = 2, অর্থাৎ \(f\prime (x) = 4\)

সাধারণ ফাংশনের ডেরিভেটিভস

সাধারণ ফাংশন ফাংশন ডেরিভেটিভ
কনস্ট্যান্ট c 0
লাইন x 1
  ax a
স্কয়ার x 2 2x
বর্গমূল \(\sqrt x\) \(\frac{1}{2}x^{-1/2}\)
সূচকীয় e x e x
লগারিদম \(\log_a(x)\) 1/(x In(a))
ত্রিকোণমিতি (x in radians) \(\sin(x)\) \(\cos(x) \)
  \(\cos(x)\) \(-\sin(x)\)
  \(\tan(x)\)

\(\sec^2(x)\)

এখানে আপনাকে অনেক ফাংশনের ডেরিভেটিভগুলি তৈরি করতে সাহায্য করার জন্য দরকারী নিয়ম রয়েছে:

  • ধ্রুবক নিয়ম: f(x) = c তারপর \(f\prime(x) = 0\)
  • ধ্রুবক একাধিক নিয়ম: \(g(x) = c \cdot f(x) \textrm{ তারপর } g\prime(x) = c \cdot f\prime(x)\)
  • পাওয়ার নিয়ম: \( f(x) = x^n \textrm{ তারপর } f\prime(x) = nx^{n-1}\)
  • যোগফল এবং পার্থক্য নিয়ম \(h(x) = f(x) \pm g(x) \textrm{ তারপর } h\prime(x) = f\prime(x) \pm g\prime(x)\)
  • পণ্যের নিয়ম \(h(x) = f(x)g(x) \textrm{ তারপর } h\prime(x) = f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)\)
  • ভাগফলের নিয়ম: \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \textrm{ তারপর } h\prime(x) = \frac{ f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)}{g(x)^2}\)
  • চেইন নিয়ম: \(h(x) = f(g(x)) \textrm{ তারপর } h\prime(x) = f\prime(g(x))g\prime(x)\)

দ্রষ্টব্য: একটি বিন্দুতে একটি স্পর্শক রেখার ঢাল সেই বিন্দুতে তার ডেরিভেটিভ। যদি একটি বিন্দুতে (x 0 , y 0 ) একটি বক্ররেখা y = f(x) এর জন্য একটি স্পর্শক রেখা আঁকা হয়, তাহলে এর ঢাল (m) শুধুমাত্র ফাংশনের ডেরিভেটিভের বিন্দুটিকে প্রতিস্থাপন করে প্রাপ্ত হয়।

উদাহরণ 4: 10x 5 পার্থক্য করুন

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(10x^5)}{dx}\)

\(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\) (পাওয়ার নিয়ম প্রয়োগ করা)

উদাহরণ 5: tan 2 x

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(tan^2x)}{dx}\)

\(2\tan x^{2-1} \times \frac{d(\tan x)}{dx}\) (চেইন নিয়ম প্রয়োগ করা)

\(2\tan x⋅ \sec ^2 x\)

Download Primer to continue