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derivate

Eine Ableitung ist ein Verhältnis der Änderung des Funktionswerts zur Änderung der unabhängigen Variablen.
Ableitungen einer Funktion an einem bestimmten Punkt geben die Änderungsrate einer Funktion an diesem Punkt an. Die Änderungsrate kann aus der Änderungsrate der Funktion \(\Delta y\) zur Änderung der unabhängigen Variablen \(\Delta x\) berechnet werden. Dieses Verhältnis wird im Grenzfall als \(\Delta x \to 0\) betrachtet. \(\Delta x \to 0\) . Die Ableitung einer Funktion f(x) stellt ihre Änderungsrate dar und wird entweder mit \(f\prime(x) \) oder df ∕ dx bezeichnet

Schauen wir uns zunächst die Definition und eine bildliche Darstellung der Ableitung an.

Die Ableitung von f ist die Änderungsrate von f. Schauen Sie sich oben das Diagramm einer Kurve an. Es stellt den Wert von f(x) an zwei Punkten x und \(x + \Delta x \) als f(x) bzw. \(f(x + \Delta x)\) dar. Wenn Sie das Intervall zwischen diesen beiden Punkten verkleinern, bis es unendlich klein ist, haben wir einen Grenzwert \(\Delta x \to 0\) .


\(f\prime(x) = \frac{df }{dx} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x}\)

Der Zähler \(f(x + \Delta x) - f(x)\) stellt die entsprechende Änderung des Werts der Funktion f über das Intervall \(\Delta x\) dar. Dies macht die Ableitung einer Funktion f an einem Punkt x zur Änderungsrate von f an diesem Punkt.

Schritte zum Ermitteln der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x sind:

1. Bilden Sie den Differenzenquotienten \(\frac{dy }{dx} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
2. Vereinfachen Sie den Quotienten und streichen Sie ihn, wo immer möglich.
3. Finden Sie die Ableitung \(f\prime(x)\) und wenden Sie den Grenzwert auf den Quotienten an. Wenn dieser Grenzwert existiert, dann sagen wir, dass die Funktion f(x) bei x differenzierbar ist.

Versuchen wir, die Ableitungen für einige Funktionen abzuleiten

Beispiel 1 : Berechnen Sie die Ableitung der Funktion y = x

\(y\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}1=1\)


Beispiel 2: Finden Sie die Ableitung der Funktion f(x) = 5x + 2

Dies ist die Darstellung der Funktion 5x + 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = [5(x+\Delta x) +2] - [5x +2] = 5x + 5\Delta x + 2 - 5x - 2 = 5\Delta x\)

Das Differenzverhältnis beträgt \(\frac{5\Delta x}{\Delta x}\) = 5

\(\therefore\textrm{ Derivat } f\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}5 = 5\)

Beispiel 3: Finden Sie die Ableitung der quadratischen Gleichung f(x) = x 2 . Lassen Sie uns die Grafik verwenden und Ableitungen besser verstehen.

f(x) = x 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = (x+\Delta x)^2 - x^2\)

\(\Delta y = x^2 + 2x\Delta x +\Delta x^2-x^2 = \Delta x(2x+\Delta x)\)

Die Ableitung von x 2 ist 2x. Das bedeutet, dass für die Funktion x 2 die Änderungsrate an jedem Punkt 2x beträgt.

die Änderungsrate von f bei x = 2 ist der Wert von \(f\prime(x)\) bei x = 2, also \(f\prime (x) = 4\)

Ableitungen gemeinsamer Funktionen

Gemeinsame Funktion Funktion
Ableitungskonstante c 0
Linie x 1
  ax a
Quadrat x 2 2x
Quadratwurzel \(\sqrt x\) \(\frac{1}{2}x^{-1/2}\)
Exponential e x e x
Logarithmen \(\log_a(x)\) 1/(x In(a))
Trigonometrie(x im Bogenmaß) \(\sin(x)\) \(\cos(x) \)
  \(\cos(x)\) \(-\sin(x)\)
  \(\tan(x)\)

\(\sec^2(x)\)

Hier sind nützliche Regeln , die Ihnen bei der Berechnung der Ableitungen vieler Funktionen helfen:

  • Konstantenregel: f(x) = c dann \(f\prime(x) = 0\)
  • Konstante Vielfachesregel: \(g(x) = c \cdot f(x) \textrm{ Dann } g\prime(x) = c \cdot f\prime(x)\)
  • Potenzregel: \( f(x) = x^n \textrm{ Dann } f\prime(x) = nx^{n-1}\)
  • Summen- und Differenzenregel: \(h(x) = f(x) \pm g(x) \textrm{ Dann } h\prime(x) = f\prime(x) \pm g\prime(x)\)
  • Produktregel: \(h(x) = f(x)g(x) \textrm{ Dann } h\prime(x) = f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)\)
  • Quotientenregel: \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \textrm{ Dann } h\prime(x) = \frac{ f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)}{g(x)^2}\)
  • Kettenregel: \(h(x) = f(g(x)) \textrm{ Dann } h\prime(x) = f\prime(g(x))g\prime(x)\)

Hinweis: Die Steigung einer Tangente an einem Punkt ist ihre Ableitung an diesem Punkt. Wenn eine Tangente für eine Kurve y = f(x) an einem Punkt (x 0 , y 0 ) gezeichnet wird, dann erhält man ihre Steigung (m) durch einfaches Einsetzen des Punktes in die Ableitung der Funktion.

Beispiel 4: Differenzieren Sie 10x 5

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(10x^5)}{dx}\)

\(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\) (Anwenden der Potenzregel)

Beispiel 5: Differenziere tan 2 x

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(tan^2x)}{dx}\)

\(2\tan x^{2-1} \times \frac{d(\tan x)}{dx}\) (unter Anwendung der Kettenregel)

\(2\tan x⋅ \sec ^2 x\)

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