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derivados

Una derivada es una relación entre el cambio en el valor de la función y el cambio en la variable independiente.
Las derivadas de una función en algún punto denotan la tasa de cambio de una función en ese punto. La tasa de cambio se puede calcular mediante la tasa de cambio de la función \(\Delta y\) al cambio de la variable independiente \(\Delta x\) , esta relación se considera en el límite como \(\Delta x \to 0\) . la derivada de una función f(x) representa su tasa de cambio y se denota por \(f\prime(x) \) o df ∕ dx

Veamos primero su definición y una ilustración gráfica de la derivada.

La derivada de f es la tasa de cambio de f. Mire la gráfica de una curva arriba. Representa el valor de f(x) en dos puntos x y \(x + \Delta x \) , como f(x) y \(f(x + \Delta x)\) respectivamente. A medida que se hace el intervalo entre estos dos puntos más pequeño hasta que sea infinitamente pequeño, tenemos un límite \(\Delta x \to 0\) .


\(f\prime(x) = \frac{df }{dx} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x}\)

El numerador \(f(x + \Delta x) - f(x)\) representa el cambio correspondiente en el valor de la función f durante el intervalo \(\Delta x\) . Esto hace que la derivada de una función f en un punto x sea la tasa de cambio de f en ese punto.

Los pasos para encontrar la derivada de la función f(x) en el punto x son:

1. Forma el cociente de diferencias \(\frac{dy }{dx} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
2. Simplifica el cociente, cancelando siempre que sea posible.
3. Encuentra la derivada \(f\prime(x)\) , aplicando el límite al cociente. Si este límite existe, entonces decimos que la función f(x) es derivable en x.

Intentemos derivar las derivadas de algunas funciones.

Ejemplo 1 : Calcular la derivada de la función y = x

\(y\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}1=1\)


Ejemplo 2: Encuentra la derivada de la función f(x) = 5x + 2

este es el trazado de la función 5x + 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = [5(x+\Delta x) +2] - [5x +2] = 5x + 5\Delta x + 2 - 5x - 2 = 5\Delta x\)

La razón de diferencia es \(\frac{5\Delta x}{\Delta x}\) = 5

\(\therefore\textrm{ Derivado } f\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}5 = 5\)

Ejemplo 3: Encuentre la derivada de la ecuación cuadrática f(x) = x 2 . Usemos la gráfica y comprendamos mejor las derivadas.

f(x) = x 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = (x+\Delta x)^2 - x^2\)

\(\Delta y = x^2 + 2x\Delta x +\Delta x^2-x^2 = \Delta x(2x+\Delta x)\)

La derivada de x 2 es 2x. Significa que para la función x 2 , la tasa de cambio en cualquier punto es 2x.

la tasa de cambio de f en x = 2 es el valor de \(f\prime(x)\) en x = 2, es decir \(f\prime (x) = 4\)

Derivadas de funciones comunes

Función común función Derivada
Constante c 0
Línea x 1
  ax a
Cuadrado x 2 2x
Raíz cuadrada \(\sqrt x\) \(\frac{1}{2}x^{-1/2}\)
Exponencial e x e x
Logaritmos \(\log_a(x)\) 1/(x In(a))
Trigonometría(x en radianes) \(\sin(x)\) \(\cos(x) \)
  \(\cos(x)\) \(-\sin(x)\)
  \(\tan(x)\)

\(\sec^2(x)\)

Aquí hay reglas útiles que le ayudarán a calcular las derivadas de muchas funciones:

  • Regla constante: f(x) = c entonces \(f\prime(x) = 0\)
  • Regla múltiple constante: \(g(x) = c \cdot f(x) \textrm{ entonces } g\prime(x) = c \cdot f\prime(x)\)
  • Regla de potencia: \( f(x) = x^n \textrm{ entonces } f\prime(x) = nx^{n-1}\)
  • Regla de suma y diferencia: \(h(x) = f(x) \pm g(x) \textrm{ entonces } h\prime(x) = f\prime(x) \pm g\prime(x)\)
  • Regla del producto \(h(x) = f(x)g(x) \textrm{ entonces } h\prime(x) = f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)\)
  • Regla del cociente: \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \textrm{ entonces } h\prime(x) = \frac{ f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)}{g(x)^2}\)
  • Regla de la cadena: \(h(x) = f(g(x)) \textrm{ entonces } h\prime(x) = f\prime(g(x))g\prime(x)\)

Nota: La pendiente de una recta tangente en un punto es su derivada en ese punto. Si se traza una recta tangente para una curva y = f(x) en un punto (x 0 , y 0 ), entonces su pendiente (m) se obtiene simplemente sustituyendo el punto en la derivada de la función.

Ejemplo 4: derivar 10x 5

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(10x^5)}{dx}\)

\(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\) (aplicando la regla de la potencia)

Ejemplo 5: derivar tan 2 x

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(tan^2x)}{dx}\)

\(2\tan x^{2-1} \times \frac{d(\tan x)}{dx}\) (aplicando la regla de la cadena)

\(2\tan x⋅ \sec ^2 x\)

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