Back to the topics list
Google Play badge

مشتقات

مشتق نسبتی از تغییر در مقدار تابع به تغییر در متغیر مستقل است.
مشتقات یک تابع در یک نقطه نشان دهنده نرخ تغییر یک تابع در آن نقطه است. نرخ تغییر را می توان با نرخ تغییر تابع \(\Delta y\) به تغییر متغیر مستقل \(\Delta x\) محاسبه کرد، این نسبت در حد \(\Delta x \to 0\) در نظر گرفته می شود. \(\Delta x \to 0\) . مشتق تابع f(x) نرخ تغییر آن را نشان می‌دهد و با \(f\prime(x) \) یا df ∕ dx نشان داده می‌شود.

بیایید ابتدا به تعریف آن و یک تصویر تصویری از مشتق نگاه کنیم.

مشتق f نرخ تغییر f است. به نمودار یک منحنی بالا نگاه کنید. این مقدار f(x) را در دو نقطه x و \(x + \Delta x \) به ترتیب به صورت f(x) و \(f(x + \Delta x)\) نشان می‌دهد. همانطور که فاصله بین این دو نقطه را کوچکتر می کنید تا بی نهایت کوچک شود، یک حد \(\Delta x \to 0\) داریم.


\(f\prime(x) = \frac{df }{dx} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x}\)

شماره‌گر \(f(x + \Delta x) - f(x)\) نشان‌دهنده تغییر مربوطه در مقدار تابع f در بازه \(\Delta x\) است. این باعث می شود که مشتق تابع f در نقطه x، نرخ تغییر f در آن نقطه باشد.

مراحل یافتن مشتق تابع f(x) در نقطه x به صورت زیر است:

1. ضریب اختلاف \(\frac{dy }{dx} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\) تشکیل دهید
2. ضریب را ساده کنید و تا حد امکان لغو کنید.
3. مشتق \(f\prime(x)\) را پیدا کنید و حد را به ضریب اعمال کنید. اگر این حد وجود داشته باشد، می گوییم که تابع f(x) در x قابل تمایز است.

اجازه دهید سعی کنیم مشتقات را برای چند تابع استخراج کنیم

مثال 1 : مشتق تابع y = x را محاسبه کنید

\(y\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}1=1\)


مثال 2: مشتق تابع f(x) = 5x + 2 را بیابید

این رسم تابع 5x + 2 است

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = [5(x+\Delta x) +2] - [5x +2] = 5x + 5\Delta x + 2 - 5x - 2 = 5\Delta x\)

نسبت تفاوت \(\frac{5\Delta x}{\Delta x}\) = 5 است

\(\therefore\textrm{ مشتق } f\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}5 = 5\)

مثال 3: مشتق معادله درجه دوم f(x) = x 2 را بیابید. بیایید از نمودار استفاده کنیم و مشتقات را به روشی بهتر درک کنیم.

f(x) = x 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = (x+\Delta x)^2 - x^2\)

\(\Delta y = x^2 + 2x\Delta x +\Delta x^2-x^2 = \Delta x(2x+\Delta x)\)

مشتق x 2 2x است. به این معنی که برای تابع x 2 ، نرخ تغییر در هر نقطه 2x است.

نرخ تغییر f در x = 2 مقدار \(f\prime(x)\) در x = 2 است، یعنی \(f\prime (x) = 4\)

مشتقات توابع رایج

تابع مشترک مشتق
ثابت c 0
خط x 1
  ax a
مربع x 2 2x
ریشه مربع \(\sqrt x\) \(\frac{1}{2}x^{-1/2}\)
نمایی e x e x
لگاریتم \(\log_a(x)\) 1/(x In(a))
مثلثات(x بر حسب رادیان) \(\sin(x)\) \(\cos(x) \)
  \(\cos(x)\) \(-\sin(x)\)
  \(\tan(x)\)

\(\sec^2(x)\)

در اینجا قوانین مفیدی وجود دارد که به شما کمک می کند تا مشتقات بسیاری از توابع را بسازید:

  • قانون ثابت: f(x) = c سپس \(f\prime(x) = 0\)
  • قانون چندگانه ثابت: \(g(x) = c \cdot f(x) \textrm{ سپس } g\prime(x) = c \cdot f\prime(x)\)
  • قانون قدرت: \( f(x) = x^n \textrm{ سپس } f\prime(x) = nx^{n-1}\)
  • قانون جمع و تفاوت: \(h(x) = f(x) \pm g(x) \textrm{ سپس } h\prime(x) = f\prime(x) \pm g\prime(x)\)
  • قانون محصول: \(h(x) = f(x)g(x) \textrm{ سپس } h\prime(x) = f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)\)
  • قانون ضریب: \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \textrm{ سپس } h\prime(x) = \frac{ f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)}{g(x)^2}\)
  • قانون زنجیره: \(h(x) = f(g(x)) \textrm{ سپس } h\prime(x) = f\prime(g(x))g\prime(x)\)

نکته: شیب خط مماس در یک نقطه مشتق آن در آن نقطه است. اگر یک خط مماس برای منحنی y = f(x) در یک نقطه (x 0 , y 0 ) رسم شود، شیب آن (m) به سادگی با جایگزین کردن نقطه در مشتق تابع به دست می آید.

مثال 4: 10x5

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(10x^5)}{dx}\)

\(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\)

متمایز کنید

\(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\) (اعمال قانون قدرت)

مثال 5: تمایز tan 2 x

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(tan^2x)}{dx}\)

\(2\tan x^{2-1} \times \frac{d(\tan x)}{dx}\) (اعمال قانون زنجیره)

\(2\tan x⋅ \sec ^2 x\)

Download Primer to continue