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dérivés

Une dérivée est un rapport entre la variation de la valeur de la fonction et la variation de la variable indépendante.
Les dérivées d'une fonction à un moment donné désignent le taux de changement d'une fonction à ce stade. Le taux de changement peut être calculé par le taux de changement de la fonction \(\Delta y\) par rapport au changement de la variable indépendante \(\Delta x\) , ce rapport est considéré en limite comme \(\Delta x \to 0\) . la dérivée d'une fonction f(x) représente son taux de changement et est notée soit \(f\prime(x) \) soit df ∕ dx

Examinons d'abord sa définition et une illustration picturale de la dérivée.

La dérivée de f est le taux de variation de f. Regardez le graphique d'une courbe ci-dessus. Il représente la valeur de f(x) en deux points x et \(x + \Delta x \) , comme f(x) et \(f(x + \Delta x)\) respectivement. À mesure que vous réduisez l’intervalle entre ces deux points jusqu’à ce qu’il soit infinitésimal, nous avons une limite \(\Delta x \to 0\) .


\(f\prime(x) = \frac{df }{dx} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x}\)

Le numérateur \(f(x + \Delta x) - f(x)\) représente le changement correspondant de la valeur de la fonction f sur l'intervalle \(\Delta x\) . Cela donne la dérivée d'une fonction f en un point x, le taux de variation de f en ce point.

Les étapes pour trouver la dérivée de la fonction f(x) au point x sont :

1. Former le quotient de différence \(\frac{dy }{dx} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
2. Simplifiez le quotient, en l'annulant autant que possible.
3. Trouvez la dérivée \(f\prime(x)\) , en appliquant la limite au quotient. Si cette limite existe, alors on dit que la fonction f(x) est dérivable en x.

Essayons de dériver les dérivées de quelques fonctions

Exemple 1 : Calculer la dérivée de la fonction y = x

\(y\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}1=1\)


Exemple 2 : Trouver la dérivée de la fonction f(x) = 5x + 2

c'est le tracé de la fonction 5x + 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = [5(x+\Delta x) +2] - [5x +2] = 5x + 5\Delta x + 2 - 5x - 2 = 5\Delta x\)

Le rapport de différence est \(\frac{5\Delta x}{\Delta x}\) = 5

\(\therefore\textrm{ Dérivé } f\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}5 = 5\)

Exemple 3 : Trouvez la dérivée de l'équation quadratique f(x) = x 2 . Utilisons le graphique et comprenons mieux les dérivées.

f(x) = x2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = (x+\Delta x)^2 - x^2\)

\(\Delta y = x^2 + 2x\Delta x +\Delta x^2-x^2 = \Delta x(2x+\Delta x)\)

La dérivée de x 2 est 2x. Cela signifie que pour la fonction x 2 , le taux de changement à tout moment est de 2x.

le taux de changement de f à x = 2 est la valeur de \(f\prime(x)\) à x = 2, c'est-à-dire \(f\prime (x) = 4\)

Dérivées de fonctions communes

Fonction commune fonction Dérivée
Constante c 0
Ligne x 1
  ax a
Carré x 2 2x
Racine carrée \(\sqrt x\) \(\frac{1}{2}x^{-1/2}\)
Exponentiel e x e x
Logarithmes \(\log_a(x)\) 1/(x In(a))
Trigonométrie(x en radians) \(\sin(x)\) \(\cos(x) \)
  \(\cos(x)\) \(-\sin(x)\)
  \(\tan(x)\)

\(\sec^2(x)\)

Voici des règles utiles pour vous aider à déterminer les dérivées de nombreuses fonctions :

  • Règle constante : f(x) = c puis \(f\prime(x) = 0\)
  • Règle multiple constante : \(g(x) = c \cdot f(x) \textrm{ alors } g\prime(x) = c \cdot f\prime(x)\)
  • Règle de puissance : \( f(x) = x^n \textrm{ alors } f\prime(x) = nx^{n-1}\)
  • Règle de somme et de différence \(h(x) = f(x) \pm g(x) \textrm{ alors } h\prime(x) = f\prime(x) \pm g\prime(x)\)
  • Règle du produit \(h(x) = f(x)g(x) \textrm{ alors } h\prime(x) = f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)\)
  • Règle du quotient : \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \textrm{ alors } h\prime(x) = \frac{ f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)}{g(x)^2}\)
  • Règle de chaîne : \(h(x) = f(g(x)) \textrm{ alors } h\prime(x) = f\prime(g(x))g\prime(x)\)

Remarque : La pente d'une ligne tangente en un point est sa dérivée en ce point. Si une ligne tangente est tracée pour une courbe y = f(x) en un point (x 0 , y 0 ), alors sa pente (m) est obtenue en substituant simplement le point dans la dérivée de la fonction.

Exemple 4 : Différencier 10x 5

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(10x^5)}{dx}\)

\(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\) (application de la règle de puissance)

Exemple 5 : Différencier tan 2 x

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(tan^2x)}{dx}\)

\(2\tan x^{2-1} \times \frac{d(\tan x)}{dx}\) (application de la règle de chaîne)

\(2\tan x⋅ \sec ^2 x\)

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