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डेरिवेटिव

व्युत्पन्न फ़ंक्शन के मान में परिवर्तन और स्वतंत्र चर में परिवर्तन का अनुपात है।
किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न उस बिंदु पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाते हैं। परिवर्तन की दर की गणना फ़ंक्शन \(\Delta y\) के परिवर्तन की दर से स्वतंत्र चर \(\Delta x\) के परिवर्तन से की जा सकती है, इस अनुपात को सीमा में \(\Delta x \to 0\) के रूप में माना जाता है \(\Delta x \to 0\) . किसी फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न इसके परिवर्तन की दर को दर्शाता है और इसे \(f\prime(x) \) या df ∕ dx द्वारा दर्शाया जाता है।

आइए सबसे पहले इसकी परिभाषा और व्युत्पत्ति का सचित्र चित्रण देखें।

f का व्युत्पन्न f के परिवर्तन की दर है। ऊपर एक वक्र का ग्राफ़ देखें। यह दो बिंदुओं x और \(x + \Delta x \) पर क्रमशः f(x) और \(f(x + \Delta x)\) के रूप में f(x) के मान को दर्शाता है। जैसे ही आप इन दो बिंदुओं के बीच के अंतराल को तब तक छोटा करते हैं जब तक कि यह अनंत रूप से छोटा न हो जाए, हमारे पास एक सीमा होती है \(\Delta x \to 0\)


\(f\prime(x) = \frac{df }{dx} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x}\)

अंश \(f(x + \Delta x) - f(x)\) अंतराल \(\Delta x\) पर फ़ंक्शन f के मान में संबंधित परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। यह एक बिंदु x पर फ़ंक्शन f का व्युत्पन्न बनाता है, उस बिंदु पर f के परिवर्तन की दर।

बिंदु x पर फलन f(x) का अवकलज ज्ञात करने के चरण हैं:

1. अंतर भागफल बनाएं \(\frac{dy }{dx} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
2. जहां संभव हो वहां रद्द करके भागफल को सरल बनाएं।
3. भागफल की सीमा लागू करते हुए व्युत्पन्न \(f\prime(x)\) ज्ञात करें। यदि यह सीमा मौजूद है, तो हम कहते हैं कि फलन f(x) x पर अवकलनीय है।

आइए कुछ कार्यों के लिए व्युत्पन्न प्राप्त करने का प्रयास करें

उदाहरण 1 : फलन y = x के अवकलज की गणना करें

\(y\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}1=1\)


उदाहरण 2: फलन f(x) = 5x + 2 का अवकलज ज्ञात कीजिए

यह फ़ंक्शन 5x + 2 की प्लॉटिंग है

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = [5(x+\Delta x) +2] - [5x +2] = 5x + 5\Delta x + 2 - 5x - 2 = 5\Delta x\)

अंतर अनुपात \(\frac{5\Delta x}{\Delta x}\) = 5 है

\(\therefore\textrm{ यौगिक } f\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}5 = 5\)

उदाहरण 3: द्विघात समीकरण f(x) = x 2 का अवकलज ज्ञात कीजिए। आइए ग्राफ़ का उपयोग करें और डेरिवेटिव को बेहतर तरीके से समझें।

एफ(एक्स) = एक्स 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = (x+\Delta x)^2 - x^2\)

\(\Delta y = x^2 + 2x\Delta x +\Delta x^2-x^2 = \Delta x(2x+\Delta x)\)

x 2 का अवकलज 2x है। इसका मतलब है कि फ़ंक्शन x 2 के लिए, किसी भी बिंदु पर परिवर्तन की दर 2x है।

x = 2 पर f के परिवर्तन की दर x = 2 पर \(f\prime(x)\) का मान है, अर्थात \(f\prime (x) = 4\)

सामान्य कार्यों के व्युत्पन्न

सामान्य फ़ंक्शन फ़ंक्शन व्युत्पन्न
स्थिरांक सी 0
लाइन x 1
  ax a
वर्ग x 2 2x
वर्गमूल \(\sqrt x\) \(\frac{1}{2}x^{-1/2}\)
घातांक e x e x
लघुगणक \(\log_a(x)\) 1/(x In(a))
त्रिकोणमिति(x रेडियंस में) \(\sin(x)\) \(\cos(x) \)
  \(\cos(x)\) \(-\sin(x)\)
  \(\tan(x)\)

\(\sec^2(x)\)

कई कार्यों के व्युत्पन्न निकालने में आपकी सहायता के लिए यहां उपयोगी नियम दिए गए हैं:

  • स्थिर नियम: f(x) = c तो \(f\prime(x) = 0\)
  • स्थिर एकाधिक नियम: \(g(x) = c \cdot f(x) \textrm{ तब } g\prime(x) = c \cdot f\prime(x)\)
  • पावर नियम: \( f(x) = x^n \textrm{ तब } f\prime(x) = nx^{n-1}\)
  • योग और अंतर नियम \(h(x) = f(x) \pm g(x) \textrm{ तब } h\prime(x) = f\prime(x) \pm g\prime(x)\)
  • उत्पाद नियम \(h(x) = f(x)g(x) \textrm{ तब } h\prime(x) = f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)\)
  • भागफल नियम: \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \textrm{ तब } h\prime(x) = \frac{ f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)}{g(x)^2}\)
  • श्रृंखला नियम: \(h(x) = f(g(x)) \textrm{ तब } h\prime(x) = f\prime(g(x))g\prime(x)\)

नोट: किसी बिंदु पर स्पर्शरेखा रेखा का ढलान उस बिंदु पर उसका व्युत्पन्न होता है। यदि किसी बिंदु (x 0 , y 0 ) पर वक्र y = f(x) के लिए एक स्पर्शरेखा रेखा खींची जाती है, तो इसकी ढलान (m) केवल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न में बिंदु को प्रतिस्थापित करके प्राप्त की जाती है।

उदाहरण 4: 10x 5 को अलग करें

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(10x^5)}{dx}\)

\(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\) (शक्ति नियम लागू करना)

उदाहरण 5: tan 2 x

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(tan^2x)}{dx}\)

\(2\tan x^{2-1} \times \frac{d(\tan x)}{dx}\) (श्रृंखला नियम लागू करते हुए)

\(2\tan x⋅ \sec ^2 x\)

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