Back to the topics list
Google Play badge

derivati

Derivacija je omjer promjene vrijednosti funkcije i promjene nezavisne varijable.
Derivacije funkcije u nekom trenutku označavaju brzinu promjene funkcije u tom trenutku. Brzina promjene može se izračunati brzinom promjene funkcije \(\Delta y\) na promjenu nezavisne varijable \(\Delta x\) , ovaj omjer se smatra ograničenim kao \(\Delta x \to 0\) . derivacija funkcije f(x) predstavlja njezinu brzinu promjene i označava se s \(f\prime(x) \) ili df ∕ dx

Pogledajmo prvo njegovu definiciju i slikovnu ilustraciju izvedenice.

Derivacija f je stopa promjene f. Pogledajte gornji grafikon krivulje. Predstavlja vrijednost f(x) u dvije točke x i \(x + \Delta x \) , kao f(x) odnosno \(f(x + \Delta x)\) . Kako interval između ove dvije točke smanjujete sve dok ne postane beskonačno malen, imamo ograničenje \(\Delta x \to 0\) .


\(f\prime(x) = \frac{df }{dx} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x}\)

Brojnik \(f(x + \Delta x) - f(x)\) predstavlja odgovarajuću promjenu vrijednosti funkcije f u intervalu \(\Delta x\) . To čini derivaciju funkcije f u točki x, brzinu promjene f u toj točki.

Koraci za pronalaženje derivacije funkcije f(x) u točki x su:

1. Formirajte kvocijent razlike \(\frac{dy }{dx} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
2. Pojednostavite kvocijent, poništavajući gdje god je to moguće.
3. Pronađite derivaciju \(f\prime(x)\) , primjenjujući granicu na kvocijent. Ako ta granica postoji, onda kažemo da je funkcija f(x) diferencijabilna u x.

Pokušajmo izvesti derivacije za nekoliko funkcija

Primjer 1 : Izračunajte derivaciju funkcije y = x

\(y\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}1=1\)


Primjer 2: Pronađite derivaciju funkcije f(x) = 5x + 2

ovo je iscrtavanje funkcije 5x + 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = [5(x+\Delta x) +2] - [5x +2] = 5x + 5\Delta x + 2 - 5x - 2 = 5\Delta x\)

Omjer razlike je \(\frac{5\Delta x}{\Delta x}\) = 5

\(\therefore\textrm{ Izvedenica } f\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}5 = 5\)

Primjer 3: Odredite derivaciju kvadratne jednadžbe f(x) = x 2 . Upotrijebimo graf i bolje razumijemo izvedenice.

f(x) = x 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = (x+\Delta x)^2 - x^2\)

\(\Delta y = x^2 + 2x\Delta x +\Delta x^2-x^2 = \Delta x(2x+\Delta x)\)

Derivacija od x 2 je 2x. To znači da je za funkciju x 2 stopa promjene u bilo kojoj točki 2x.

brzina promjene f na x = 2 je vrijednost \(f\prime(x)\) na x = 2, tj. \(f\prime (x) = 4\)

Derivati ​​zajedničkih funkcija

Uobičajena funkcija Derivacija funkcije
Konstanta c 0
Linija x 1
  ax a
Kvadratni x 2 2x
Kvadratni korijen \(\sqrt x\) \(\frac{1}{2}x^{-1/2}\)
Eksponencijalni e x e x
Logaritmi \(\log_a(x)\) 1/(x In(a))
Trigonometrija(x u radijanima) \(\sin(x)\) \(\cos(x) \)
  \(\cos(x)\) \(-\sin(x)\)
  \(\tan(x)\)

\(\sec^2(x)\)

Evo korisnih pravila koja će vam pomoći da izračunate derivacije mnogih funkcija:

  • Pravilo konstante: f(x) = c zatim \(f\prime(x) = 0\)
  • Pravilo konstantnog višestruka: \(g(x) = c \cdot f(x) \textrm{ zatim } g\prime(x) = c \cdot f\prime(x)\)
  • Pravilo stepena: \( f(x) = x^n \textrm{ zatim } f\prime(x) = nx^{n-1}\)
  • Pravilo zbroja i razlike \(h(x) = f(x) \pm g(x) \textrm{ zatim } h\prime(x) = f\prime(x) \pm g\prime(x)\)
  • Pravilo umnoška: \(h(x) = f(x)g(x) \textrm{ zatim } h\prime(x) = f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)\)
  • Pravilo kvocijenta: \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \textrm{ zatim } h\prime(x) = \frac{ f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)}{g(x)^2}\)
  • Pravilo lanca: \(h(x) = f(g(x)) \textrm{ zatim } h\prime(x) = f\prime(g(x))g\prime(x)\)

Napomena: Nagib tangente u točki je njezina derivacija u toj točki. Ako se povuče tangenta za krivulju y = f(x) u točki (x 0 , y 0 ), tada se njezin nagib (m) dobiva jednostavnom zamjenom točke u izvodu funkcije.

Primjer 4: Diferencirajte 10x 5

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(10x^5)}{dx}\)

\(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\) (primjena pravila snage)

Primjer 5: Diferencirajte tan 2 x

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(tan^2x)}{dx}\)

\(2\tan x^{2-1} \times \frac{d(\tan x)}{dx}\) (primjena lančanog pravila)

\(2\tan x⋅ \sec ^2 x\)

Download Primer to continue