Turunan adalah perbandingan perubahan nilai fungsi terhadap perubahan variabel bebas.
Turunan suatu fungsi pada suatu titik menunjukkan laju perubahan suatu fungsi pada titik tersebut. Laju perubahan dapat dihitung dengan laju perubahan fungsi \(\Delta y\) terhadap perubahan variabel bebas \(\Delta x\) , rasio ini dianggap dalam batas sebagai \(\Delta x \to 0\) . turunan suatu fungsi f(x) menyatakan laju perubahannya dan dilambangkan dengan \(f\prime(x) \) atau df ∕ dx
Mari kita lihat dulu definisinya dan ilustrasi gambar turunannya.
Turunan dari f adalah laju perubahan f. Perhatikan grafik kurva di atas. Ini mewakili nilai f(x) di dua titik x dan \(x + \Delta x \) , sebagai f(x) dan \(f(x + \Delta x)\) masing-masing. Saat Anda memperkecil interval antara dua titik ini hingga sangat kecil, kita memiliki batas \(\Delta x \to 0\) .
\(f\prime(x) = \frac{df }{dx} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x}\)
Pembilang \(f(x + \Delta x) - f(x)\) mewakili perubahan yang sesuai dalam nilai fungsi f selama interval \(\Delta x\) . Hal ini menjadikan turunan fungsi f di titik x, laju perubahan f di titik tersebut.
Langkah-langkah mencari turunan fungsi f(x) di titik x adalah:
1. Bentuklah hasil bagi selisih \(\frac{dy }{dx} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
2. Sederhanakan hasil bagi, hilangkan jika memungkinkan.
3. Temukan turunan \(f\prime(x)\) , dengan menerapkan limit pada hasil bagi. Jika limit ini ada, maka dikatakan fungsi f(x) terdiferensiasi di x.
Mari kita coba menurunkan turunan beberapa fungsi
Contoh 1 : Hitung turunan dari fungsi y = x
\(y\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}1=1\)
Contoh 2: Carilah turunan dari fungsi f(x) = 5x + 2
\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = [5(x+\Delta x) +2] - [5x +2] = 5x + 5\Delta x + 2 - 5x - 2 = 5\Delta x\)
Perbandingan selisihnya adalah \(\frac{5\Delta x}{\Delta x}\) = 5
\(\therefore\textrm{ Turunan } f\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}5 = 5\)
Contoh 3: Carilah turunan dari persamaan kuadrat f(x) = x 2 . Mari gunakan grafik dan pahami turunan dengan lebih baik.
f(x) = x 2
\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = (x+\Delta x)^2 - x^2\)
\(\Delta y = x^2 + 2x\Delta x +\Delta x^2-x^2 = \Delta x(2x+\Delta x)\)
Turunan dari x 2 adalah 2x. Artinya untuk fungsi x 2 , laju perubahan di suatu titik adalah 2x.
laju perubahan f pada x = 2 adalah nilai \(f\prime(x)\) pada x = 2, yaitu \(f\prime (x) = 4\)
Turunan dari fungsi umum
Turunan | Fungsi | umum | fungsi |
| Konstanta | c | 0 |
| Baris | x | 1 |
| | ax | a |
| Kuadrat | x 2 | 2x |
| Akar Kuadrat | \(\sqrt x\) | \(\frac{1}{2}x^{-1/2}\) |
| Eksponensial | e x | e x |
| Logaritma | \(\log_a(x)\) | 1/(x In(a)) |
| Trigonometri(x dalam radian) | \(\sin(x)\) | \(\cos(x) \) |
| | \(\cos(x)\) | \(-\sin(x)\) |
| | \(\tan(x)\) | \(\sec^2(x)\) |
Berikut adalah aturan yang berguna untuk membantu Anda menghitung turunan dari banyak fungsi:
- Aturan Konstanta: f(x) = c maka \(f\prime(x) = 0\)
- Aturan Kelipatan Konstanta: \(g(x) = c \cdot f(x) \textrm{ Kemudian } g\prime(x) = c \cdot f\prime(x)\)
- Aturan pangkat: \( f(x) = x^n \textrm{ Kemudian } f\prime(x) = nx^{n-1}\)
- Aturan Penjumlahan dan Selisih: \(h(x) = f(x) \pm g(x) \textrm{ Kemudian } h\prime(x) = f\prime(x) \pm g\prime(x)\)
- Aturan Perkalian: \(h(x) = f(x)g(x) \textrm{ Kemudian } h\prime(x) = f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)\)
- Aturan Hasil Bagi: \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \textrm{ Kemudian } h\prime(x) = \frac{ f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)}{g(x)^2}\)
- Aturan Rantai: \(h(x) = f(g(x)) \textrm{ Kemudian } h\prime(x) = f\prime(g(x))g\prime(x)\)
Catatan: Kemiringan garis singgung suatu titik merupakan turunan garis singgung pada titik tersebut. Jika ditarik garis singgung pada kurva y = f(x) di suatu titik (x 0 , y 0 ), maka kemiringannya (m) diperoleh hanya dengan mensubstitusikan titik tersebut ke dalam turunan fungsi tersebut.
Contoh 4: Diferensialkan 10x 5
\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(10x^5)}{dx}\)
\(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\) (menerapkan aturan pangkat)
Contoh 5: Diferensialkan tan 2 x
\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(tan^2x)}{dx}\)
\(2\tan x^{2-1} \times \frac{d(\tan x)}{dx}\) (menerapkan aturan rantai)
\(2\tan x⋅ \sec ^2 x\)
