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derivati

Una derivata è il rapporto tra la variazione del valore della funzione e la variazione della variabile indipendente.
Le derivate di una funzione ad un certo punto denotano la velocità di variazione di una funzione in quel punto. Il tasso di variazione può essere calcolato dal tasso di variazione della funzione \(\Delta y\) rispetto alla variazione della variabile indipendente \(\Delta x\) , questo rapporto è considerato come limite come \(\Delta x \to 0\) . la derivata di una funzione f(x) rappresenta il suo tasso di variazione ed è denotata da \(f\prime(x) \) o df ∕ dx

Diamo prima un'occhiata alla sua definizione e ad un'illustrazione pittorica del derivato.

La derivata di f è il tasso di variazione di f. Guarda il grafico di una curva qui sopra. Rappresenta il valore di f(x) in due punti x e \(x + \Delta x \) , rispettivamente come f(x) e \(f(x + \Delta x)\) . Man mano che riduci l'intervallo tra questi due punti fino a renderlo infinitesimo, abbiamo un limite \(\Delta x \to 0\) .


\(f\prime(x) = \frac{df }{dx} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x}\)

Il numeratore \(f(x + \Delta x) - f(x)\) rappresenta la variazione corrispondente nel valore della funzione f nell'intervallo \(\Delta x\) . Ciò rende la derivata di una funzione f in un punto x, il tasso di variazione di f in quel punto.

I passaggi per trovare la derivata della funzione f(x) nel punto x sono:

1. Forma la differenza quoziente \(\frac{dy }{dx} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
2. Semplificare il quoziente, cancellando ove possibile.
3. Trova la derivata \(f\prime(x)\) , applicando il limite al quoziente. Se questo limite esiste, allora diciamo che la funzione f(x) è differenziabile in x.

Proviamo a ricavare le derivate di alcune funzioni

Esempio 1 : Calcola la derivata della funzione y = x

\(y\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}1=1\)


Esempio 2: Trova la derivata della funzione f(x) = 5x + 2

questo è il tracciato della funzione 5x + 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = [5(x+\Delta x) +2] - [5x +2] = 5x + 5\Delta x + 2 - 5x - 2 = 5\Delta x\)

Il rapporto di differenza è \(\frac{5\Delta x}{\Delta x}\) = 5

\(\therefore\textrm{ Derivato } f\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}5 = 5\)

Esempio 3: Trova la derivata dell'equazione quadratica f(x) = x 2 . Usiamo il grafico e comprendiamo meglio le derivate.

f(x) = x2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = (x+\Delta x)^2 - x^2\)

\(\Delta y = x^2 + 2x\Delta x +\Delta x^2-x^2 = \Delta x(2x+\Delta x)\)

La derivata di x2 è 2x. Ciò significa che per la funzione x 2 , il tasso di variazione in qualsiasi punto è 2x.

il tasso di variazione di f in x = 2 è il valore di \(f\prime(x)\) in x = 2, ovvero \(f\prime (x) = 4\)

Derivate di funzioni comuni

Funzione comune funzione Derivativa
Costante c 0
Linea x 1
  ax a
Quadrato x 2 2x
Radice quadrata \(\sqrt x\) \(\frac{1}{2}x^{-1/2}\)
Esponenziale e x e x
Logaritmi \(\log_a(x)\) 1/(x In(a))
Trigonometria(x in radianti) \(\sin(x)\) \(\cos(x) \)
  \(\cos(x)\) \(-\sin(x)\)
  \(\tan(x)\)

\(\sec^2(x)\)

Ecco alcune regole utili per aiutarti a calcolare le derivate di molte funzioni:

  • Regola costante: f(x) = c then \(f\prime(x) = 0\)
  • Regola multipla costante: \(g(x) = c \cdot f(x) \textrm{ Poi } g\prime(x) = c \cdot f\prime(x)\)
  • Regola della potenza: \( f(x) = x^n \textrm{ Poi } f\prime(x) = nx^{n-1}\)
  • Regola di somma e differenza: \(h(x) = f(x) \pm g(x) \textrm{ Poi } h\prime(x) = f\prime(x) \pm g\prime(x)\)
  • Regola del prodotto: \(h(x) = f(x)g(x) \textrm{ Poi } h\prime(x) = f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)\)
  • Regola del quoziente: \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \textrm{ Poi } h\prime(x) = \frac{ f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)}{g(x)^2}\)
  • Regola della catena: \(h(x) = f(g(x)) \textrm{ Poi } h\prime(x) = f\prime(g(x))g\prime(x)\)

Nota: la pendenza di una linea tangente in un punto è la sua derivata in quel punto. Se si traccia una linea tangente per una curva y = f(x) in un punto (x 0 , y 0 ), la sua pendenza (m) si ottiene semplicemente sostituendo il punto nella derivata della funzione.

Esempio 4: Differenziare 10x 5

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(10x^5)}{dx}\)

\(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\) (applicando la regola della potenza)

Esempio 5: Differenziare tan 2 x

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(tan^2x)}{dx}\)

\(2\tan x^{2-1} \times \frac{d(\tan x)}{dx}\) (applicando la regola della catena)

\(2\tan x⋅ \sec ^2 x\)

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