導関数は、独立変数の変化に対する関数の値の変化の比率です。
ある時点での関数の導関数は、その時点での関数の変化率を示します。変化率は、独立変数\(\Delta y\)の変化に対する関数\(\Delta x\)の変化率によって計算できます。この比率は\(\Delta x \to 0\) 。関数 f(x) の導関数はその変化率を表し、 \(f\prime(x) \)または df ∕ dx で表されます。
まず、その定義と派生関数の図解を見てみましょう。
f の微分は f の変化率です。上の曲線のグラフを見てください。これは、2 点 x および\(x + \Delta x \)における f(x) の値を、それぞれ f(x) および\(f(x + \Delta x)\)として表します。これら 2 点間の間隔を無限小になるまで小さくすると、 \(\Delta x \to 0\)制限が生じます。
\(f\prime(x) = \frac{df }{dx} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x}\)
分子\(f(x + \Delta x) - f(x)\)区間\(\Delta x\)にわたる関数 f の値の対応する変化を表します。これにより、点 x における関数 f の導関数、つまりその点における f の変化率が求められます。
点 x における関数 f(x) の導関数を求める手順は次のとおりです。
1. 差の商\(\frac{dy }{dx} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)計算します。
2. 可能な限りキャンセルして商を単純化します。
3. 商に極限を適用して導関数\(f\prime(x)\)を求めます。この制限が存在する場合、関数 f(x) は x で微分可能であると言います。
いくつかの関数の導関数を導出してみましょう
例 1 : 関数 y = x の導関数を計算します。
\(y\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}1=1\)
例 2:関数 f(x) = 5x + 2 の導関数を求めます。
\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = [5(x+\Delta x) +2] - [5x +2] = 5x + 5\Delta x + 2 - 5x - 2 = 5\Delta x\)
差の比率は\(\frac{5\Delta x}{\Delta x}\) = 5
\(\therefore\textrm{ デリバティブ } f\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}5 = 5\)
例 3:二次方程式 f(x) = x 2の導関数を求めます。グラフを使用してデリバティブをよりよく理解しましょう。
f(x) = x 2
\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = (x+\Delta x)^2 - x^2\)
\(\Delta y = x^2 + 2x\Delta x +\Delta x^2-x^2 = \Delta x(2x+\Delta x)\)
x 2の導関数は 2x です。これは、関数 x 2の場合、任意の点での変化率が2 倍であることを意味します。
x = 2 における f の変化率は、x = 2 における\(f\prime(x)\)の値、つまり\(f\prime (x) = 4\)です。
共通関数の導関数
| 共通関数 | 関数 | 微分 |
| 定数 | c | 0 |
| 行 | × | 1 |
| | ax | a |
| 平方 | x 2 | 2x |
| 平方根 | \(\sqrt x\) | \(\frac{1}{2}x^{-1/2}\) |
| 指数 | e x | e x |
| 対数 | \(\log_a(x)\) | 1/(x In(a)) |
| 三角関数(x ラジアン) | \(\sin(x)\) | \(\cos(x) \) |
| | \(\cos(x)\) | \(-\sin(x)\) |
| | \(\tan(x)\) | \(\sec^2(x)\) |
ここでは、多くの関数の導関数を計算するのに役立つ便利なルールを示します。
- 定数ルール: f(x) = c then \(f\prime(x) = 0\)
- 定数倍数ルール: \(g(x) = c \cdot f(x) \textrm{ それから } g\prime(x) = c \cdot f\prime(x)\)
- べき乗則: \( f(x) = x^n \textrm{ それから } f\prime(x) = nx^{n-1}\)
- 和と差の規則\(h(x) = f(x) \pm g(x) \textrm{ それから } h\prime(x) = f\prime(x) \pm g\prime(x)\)
- 積則\(h(x) = f(x)g(x) \textrm{ それから } h\prime(x) = f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)\)
- 商ルール: \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \textrm{ それから } h\prime(x) = \frac{ f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)}{g(x)^2}\)
- 連鎖ルール: \(h(x) = f(g(x)) \textrm{ それから } h\prime(x) = f\prime(g(x))g\prime(x)\)
注:ある点における接線の傾きは、その点における接線の微分値です。曲線 y = f(x) の点 (x 0 , y 0 ) で接線を引いた場合、その傾き (m) は関数の導関数にその点を単純に代入することで得られます。
例 4: 10x 5
\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(10x^5)}{dx}\)
\(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\)
します。 \(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\) (べき乗則を適用する)
例 5: Tan 2 x を微分する
\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(tan^2x)}{dx}\)
\(2\tan x^{2-1} \times \frac{d(\tan x)}{dx}\) (連鎖ルールを適用)
\(2\tan x⋅ \sec ^2 x\)
