Back to the topics list
Google Play badge

деривати

Изводот е сооднос на промена на вредноста на функцијата со промена на независната променлива.
Изводите на функцијата во одреден момент ја означуваат брзината на промена на функцијата во таа точка. Стапката на промена може да се пресмета со брзината на промена на функцијата \(\Delta y\) до промената на независната променлива \(\Delta x\) , овој однос се смета во граница како \(\Delta x \to 0\) . изводот на функцијата f(x) ја претставува нејзината брзина на промена и се означува со \(f\prime(x) \) или со df ∕ dx

Ајде прво да ја погледнеме неговата дефиниција и сликовната илустрација на дериватот.

Извод на f е брзината на промена на f. Погледнете го графикот на кривата погоре. Ја претставува вредноста на f(x) во две точки x и \(x + \Delta x \) , како f(x) и \(f(x + \Delta x)\) соодветно. Како што го правите интервалот помеѓу овие две точки помал додека не биде бесконечно мал, имаме граница \(\Delta x \to 0\) .


\(f\prime(x) = \frac{df }{dx} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x}\)

Броителот \(f(x + \Delta x) - f(x)\) ја претставува соодветната промена на вредноста на функцијата f во интервалот \(\Delta x\) . Ова го прави изводот на функцијата f во точка x, стапката на промена на f во таа точка.

Чекорите за наоѓање на изводот на функцијата f(x) во точката x се:

1. Формирајте го количникот за разлика \(\frac{dy }{dx} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
2. Поедноставете го количникот, откажувајќи се каде што е можно.
3. Најдете го изводот \(f\prime(x)\) , применувајќи ја границата на количникот. Ако оваа граница постои, тогаш велиме дека функцијата f(x) е диференцијабилна на x.

Да се ​​обидеме да ги изведеме изводите за неколку функции

Пример 1 : Пресметај го изводот на функцијата y = x

\(y\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}1=1\)


Пример 2: Најдете го изводот на функцијата f(x) = 5x + 2

ова е исцртување на функцијата 5x + 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = [5(x+\Delta x) +2] - [5x +2] = 5x + 5\Delta x + 2 - 5x - 2 = 5\Delta x\)

Односот на разликата е \(\frac{5\Delta x}{\Delta x}\) = 5

\(\therefore\textrm{ Дериват } f\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}5 = 5\)

Пример 3: Најдете го изводот на квадратната равенка f(x) = x 2 . Да го искористиме графикот и да ги разбереме дериватите на подобар начин.

f(x) = x 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = (x+\Delta x)^2 - x^2\)

\(\Delta y = x^2 + 2x\Delta x +\Delta x^2-x^2 = \Delta x(2x+\Delta x)\)

Дериватот на x 2 е 2x. Тоа значи дека за функцијата x 2 , стапката на промена во која било точка е 2x.

стапката на промена на f при x = 2 е вредноста на \(f\prime(x)\) при x = 2, т.е. \(f\prime (x) = 4\)

Деривати на заеднички функции

Функција на заедничка функција Извод
Константа c 0
Права x 1
  секира a
Квадрат x 2 2x
Квадратен корен \(\sqrt x\) \(\frac{1}{2}x^{-1/2}\)
Експоненцијален e x e x
Логаритми \(\log_a(x)\) 1/(x In(a))
Тригонометрија(x во радијани) \(\sin(x)\) \(\cos(x) \)
  \(\cos(x)\) \(-\sin(x)\)
  \(\tan(x)\)

\(\sec^2(x)\)

Еве корисни правила кои ќе ви помогнат да ги разработите изводите на многу функции:

  • Константно правило: f(x) = c потоа \(f\prime(x) = 0\)
  • Постојано повеќекратно правило: \(g(x) = c \cdot f(x) \textrm{ тогаш } g\prime(x) = c \cdot f\prime(x)\)
  • Правило за моќност: \( f(x) = x^n \textrm{ тогаш } f\prime(x) = nx^{n-1}\)
  • Правило за сума и разлика: \(h(x) = f(x) \pm g(x) \textrm{ тогаш } h\prime(x) = f\prime(x) \pm g\prime(x)\)
  • Правило на производ: \(h(x) = f(x)g(x) \textrm{ тогаш } h\prime(x) = f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)\)
  • Правило за количник: \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \textrm{ тогаш } h\prime(x) = \frac{ f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)}{g(x)^2}\)
  • Правило на синџирот: \(h(x) = f(g(x)) \textrm{ тогаш } h\prime(x) = f\prime(g(x))g\prime(x)\)

Забелешка: Наклонот на тангента права во точка е нејзин извод во таа точка. Ако се повлече тангента линија за крива y = f(x) во точка (x 0 , y 0 ), тогаш нејзиниот наклон (m) се добива со едноставно замена на точката во изводот на функцијата.

Пример 4: Диференцирајте 10x 5

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(10x^5)}{dx}\)

\(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\) (применувајќи го правилото за моќност)

Пример 5: Диференцирај tan 2 x

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(tan^2x)}{dx}\)

\(2\tan x^{2-1} \times \frac{d(\tan x)}{dx}\) (примена на правилото на синџирот)

\(2\tan x⋅ \sec ^2 x\)

Download Primer to continue