Back to the topics list
Google Play badge

деривативууд

Дериватив гэдэг нь функцийн утгын өөрчлөлтөөс бие даасан хувьсагчийн өөрчлөлтийн харьцаа юм.
Аль нэг цэг дэх функцийн дериватив нь тухайн цэг дэх функцийн өөрчлөлтийн хурдыг илэрхийлдэг. Өөрчлөлтийн хурдыг \(\Delta y\) функцийн бие даасан хувьсагчийн өөрчлөлтийн хурдаар тооцоолж болно \(\Delta x\) , энэ харьцааг хязгаарт \(\Delta x \to 0\) гэж үзнэ. \(\Delta x \to 0\) . f(x) функцийн дериватив нь түүний өөрчлөлтийн хурдыг илэрхийлэх ба \(f\prime(x) \) эсвэл df ∕ dx гэж тэмдэглэнэ.

Эхлээд түүний тодорхойлолт болон деривативын зурган дүрслэлийг харцгаая.

f-ийн дериватив нь f-ийн өөрчлөлтийн хурд юм. Дээрх муруйны графикийг хар. Энэ нь x ба \(x + \Delta x \) хоёр цэг дээрх f(x) утгыг f(x) ба \(f(x + \Delta x)\) гэж тус тус илэрхийлнэ. Та эдгээр хоёр цэгийн хоорондох интервалыг хязгааргүй бага болтол нь багасгахад бидэнд \(\Delta x \to 0\) хязгаар бий.


\(f\prime(x) = \frac{df }{dx} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x}\)

\(f(x + \Delta x) - f(x)\) тоологч нь \(\Delta x\) интервал дахь f функцийн утгын харгалзах өөрчлөлтийг илэрхийлнэ. Энэ нь x цэг дээрх f функцийн деривативыг тухайн цэг дэх f-ийн өөрчлөлтийн хурдыг болгодог.

x цэг дээрх f(x) функцийн деривативыг олох алхамууд:

1. Ялгааны коэффициентийг үүсгэнэ \(\frac{dy }{dx} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
2. Хэмжээг хялбарчлах, боломжтой бол цуцлах.
3. Хэмжилтийн хязгаарыг хэрэглэж \(f\prime(x)\) деривативыг ол. Хэрэв энэ хязгаар байгаа бол бид f(x) функцийг x дээр ялгах боломжтой гэж хэлнэ.

Хэд хэдэн функцийн деривативыг гаргаж авахыг хичээцгээе

Жишээ 1 : y = x функцийн деривативыг тооцоол

\(y\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}1=1\)


Жишээ 2: f(x) = 5x + 2 функцийн деривативыг ол

Энэ бол 5x + 2 функцийн график юм

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = [5(x+\Delta x) +2] - [5x +2] = 5x + 5\Delta x + 2 - 5x - 2 = 5\Delta x\)

Ялгаатай харьцаа нь \(\frac{5\Delta x}{\Delta x}\) = 5

\(\therefore\textrm{ Дериватив } f\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}5 = 5\)

Жишээ 3: f(x) = x 2 квадрат тэгшитгэлийн деривативыг ол. График ашиглаж, деривативыг илүү сайн ойлгоцгооё.

f(x) = x 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = (x+\Delta x)^2 - x^2\)

\(\Delta y = x^2 + 2x\Delta x +\Delta x^2-x^2 = \Delta x(2x+\Delta x)\)

x 2 -ын дериватив нь 2x байна. Энэ нь x 2 функцийн хувьд дурын цэг дэх өөрчлөлтийн хурд 2x байна гэсэн үг.

x = 2 үед f-ийн өөрчлөлтийн хурд нь x = 2 үед \(f\prime(x)\) утгыг илэрхийлнэ, өөрөөр хэлбэл \(f\prime (x) = 4\)

Нийтлэг функцүүдийн деривативууд

Нийтлэг функц функц Дериватив
Тогтмол c 0
Шугаман х 1
  сүх a
Квадрат x 2 2х
Квадрат үндэс \(\sqrt x\) \(\frac{1}{2}x^{-1/2}\)
Экспоненциал e x e x
Логарифм \(\log_a(x)\) 1/(x In(a))
Тригонометр(x радианаар) \(\sin(x)\) \(\cos(x) \)
  \(\cos(x)\) \(-\sin(x)\)
  \(\tan(x)\)

\(\sec^2(x)\)

Энд олон функцын деривативыг олоход туслах хэрэгтэй дүрмүүд байна:

  • Тогтмол дүрэм: f(x) = c дараа нь \(f\prime(x) = 0\)
  • Тогтмол олон дүрэм: \(g(x) = c \cdot f(x) \textrm{ тэгээд } g\prime(x) = c \cdot f\prime(x)\)
  • Эрчим хүчний дүрэм: \( f(x) = x^n \textrm{ тэгээд } f\prime(x) = nx^{n-1}\)
  • Нийлбэр ба ялгааны дүрэм: \(h(x) = f(x) \pm g(x) \textrm{ тэгээд } h\prime(x) = f\prime(x) \pm g\prime(x)\)
  • Бүтээгдэхүүний дүрэм: \(h(x) = f(x)g(x) \textrm{ тэгээд } h\prime(x) = f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)\)
  • Хэмжилтийн дүрэм: \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \textrm{ тэгээд } h\prime(x) = \frac{ f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)}{g(x)^2}\)
  • Гинжин дүрэм: \(h(x) = f(g(x)) \textrm{ тэгээд } h\prime(x) = f\prime(g(x))g\prime(x)\)

Тайлбар: Нэг цэг дэх шүргэгч шулууны налуу нь тухайн цэг дэх түүний дериватив юм. Хэрэв (x 0 , y 0 ) цэг дээрх y = f(x) муруйн хувьд шүргэгч шулуун зурсан бол функцийн дериватив дахь цэгийг зүгээр л орлуулах замаар түүний налууг (m) авна.

Жишээ 4: 10x 5

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(10x^5)}{dx}\)

\(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\) (хүч чадлын дүрмийг ашиглах)

Жишээ 5: tan 2 x

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(tan^2x)}{dx}\)

\(2\tan x^{2-1} \times \frac{d(\tan x)}{dx}\) (гинжин хэлхээний дүрмийг хэрэглэх)

\(2\tan x⋅ \sec ^2 x\)

Download Primer to continue