Back to the topics list
Google Play badge

ဆင်းသက်လာ

derivative ဆိုသည်မှာ သီးခြား variable တွင် ပြောင်းလဲရန်အတွက် function ၏တန်ဖိုးပြောင်းလဲမှုအချိုးတစ်ခုဖြစ်သည်။
တစ်ချိန်ချိန်တွင် လုပ်ဆောင်ချက်တစ်ခု၏ ဆင်းသက်လာမှုသည် ထိုအချက်တွင် လုပ်ဆောင်ချက်တစ်ခု၏ ပြောင်းလဲမှုနှုန်းကို ဖော်ပြသည်။ အမှီအခိုကင်းသော variable ၏ပြောင်းလဲမှု \( \(\Delta x\) \(\Delta y\) လုပ်ဆောင်ချက်၏ပြောင်းလဲမှုနှုန်းဖြင့် တွက်ချက်နိုင်ပြီး၊ ဤအချိုးကို \(\Delta x \to 0\) အဖြစ် ကန့်သတ်ထားသည်။ \(\Delta x \to 0\) ။ လုပ်ဆောင်ချက်တစ်ခု၏ ဆင်းသက်လာမှုသည် f(x) သည် ၎င်း၏ပြောင်းလဲမှုနှုန်းကို ကိုယ်စားပြုပြီး \(f\prime(x) \) သို့မဟုတ် df ∕ dx တစ်ခုခုဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည်။

၎င်း၏ အဓိပ္ပါယ်ဖွင့်ဆိုချက်နှင့် ဆင်းသက်လာခြင်း၏ ပုံဥပမာကို ဦးစွာကြည့်ကြပါစို့။

f ၏ ဆင်းသက်မှုသည် f ၏ ပြောင်းလဲနှုန်းဖြစ်သည်။ အပေါ်ကမျဉ်းကွေးတစ်ခုရဲ့ဂရပ်ကိုကြည့်ပါ။ ၎င်းသည် f(x) နှင့် \(f(x + \Delta x)\) \(x + \Delta x \) အမှတ်နှစ်ခုတွင် f(x) တန်ဖိုးကို ကိုယ်စားပြုသည်။ ဤအမှတ်နှစ်ခုကြားရှိ ကြားကာလကို အကန့်အသတ်မရှိ သေးငယ်သည်အထိ သေးငယ်သွားသောအခါ၊ ကျွန်ုပ်တို့တွင် ကန့်သတ်ချက် \(\Delta x \to 0\) ရှိသည်။


\(f\prime(x) = \frac{df }{dx} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x}\)

ပိုင်းဝေသည် \(f(x + \Delta x) - f(x)\) \(\Delta x\) တစ်လျှောက်တွင် f function ၏တန်ဖိုးနှင့် သက်ဆိုင်သောပြောင်းလဲမှုများကို ကိုယ်စားပြုသည်။ ၎င်းသည် အမှတ် x တွင် လုပ်ဆောင်ချက် f ၏ ဆင်းသက်လာမှု၊ ထိုအမှတ်တွင် f ၏ ပြောင်းလဲနှုန်းကို ဖြစ်စေသည်။

point x တွင် function f(x) ၏ ဆင်းသက်မှုကို ရှာဖွေရန် အဆင့်များမှာ-

1. ခွဲတမ်းခြားနားချက်ကို ဖွဲ့စည်းပါ \(\frac{dy }{dx} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
2. ဖြစ်နိုင်သည့်နေရာမှ ပယ်ဖျက်လိုက်သော ပမာဏကို ရိုးရှင်းအောင်ပြုလုပ်ပါ။
3. ဆင်းသက်လာသော \(f\prime(x)\) ကို ရှာပါ၊ ကန့်သတ်ချက်သို့ ကန့်သတ်ချက်ကို အသုံးပြုပါ။ အကယ်၍ ဤကန့်သတ်ချက်ရှိနေပါက၊ function f(x) သည် x နှင့် ကွဲပြားသည်ဟု ကျွန်ုပ်တို့ပြောပါသည်။

လုပ်ဆောင်ချက်အနည်းငယ်အတွက် ဆင်းသက်လာစေရန် ကြိုးစားကြပါစို့

ဥပမာ 1 : လုပ်ဆောင်ချက် y = x ကို တွက်ချက်ပါ။

\(y\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}1=1\)


ဥပမာ 2- function f(x) = 5x + 2 ၏ ဆင်းသက်မှုကို ရှာပါ။

ဒါက function 5x + 2 ရဲ့ ကြံစည်မှုပါ။

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = [5(x+\Delta x) +2] - [5x +2] = 5x + 5\Delta x + 2 - 5x - 2 = 5\Delta x\)

ကွာခြားချက်အချိုးမှာ \(\frac{5\Delta x}{\Delta x}\) = 5

\(\therefore\textrm{ ဆင်းသက်လာသည်။ } f\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}5 = 5\)

ဥပမာ 3- quadratic equation f(x) = x 2 ၏ ဆင်းသက်မှုကို ရှာပါ။ ဂရပ်ကိုသုံး၍ ဆင်းသက်လာခြင်းများကို ပိုမိုကောင်းမွန်သောနည်းလမ်းဖြင့် နားလည်ကြပါစို့။

f(x) = x 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = (x+\Delta x)^2 - x^2\)

\(\Delta y = x^2 + 2x\Delta x +\Delta x^2-x^2 = \Delta x(2x+\Delta x)\)

x 2 ၏ ဆင်းသက်လာမှုသည် 2x ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ function x 2 အတွက် မည်သည့်အမှတ်တွင်မဆို ပြောင်းလဲမှုနှုန်း သည် 2x ဖြစ်သည်။

x = 2 တွင် f ၏ပြောင်းလဲမှုနှုန်းသည် x = 2 တွင် \(f\prime(x)\) \(f\prime (x) = 4\) ၏တန်ဖိုးဖြစ်သည်။

ဘုံလုပ်ငန်းဆောင်တာများ၏ ဆင်းသက်လာသည်။

အသုံးများသော လုပ်ဆောင်ချက် လုပ်ဆောင်ချက် Derivative
Constant c 0
Line x 1
  ax a
Square x 2 2x
Square Root \(\sqrt x\) \(\frac{1}{2}x^{-1/2}\)
Exponential e x e x
Logarithms \(\log_a(x)\) 1/(x In(a))
Trigonometry(x in radians) \(\sin(x)\) \(\cos(x) \)
  \(\cos(x)\) \(-\sin(x)\)
  \(\tan(x)\)

\(\sec^2(x)\)

ဤသည်မှာ လုပ်ဆောင်ချက်များစွာ၏ ဆင်းသက်လာမှုကို ဖော်ထုတ်ရာတွင် အသုံးဝင်သော စည်းမျဉ်းများ ဖြစ်သည်-

  • Constant Rule: f(x) = c ထို့နောက် \(f\prime(x) = 0\)
  • Constant Multiple Rule: \(g(x) = c \cdot f(x) \textrm{ ထို့နောက် } g\prime(x) = c \cdot f\prime(x)\)
  • ပါဝါစည်းမျဉ်း- \( f(x) = x^n \textrm{ ထို့နောက် } f\prime(x) = nx^{n-1}\)
  • ပေါင်းလဒ်နှင့် ကွာခြားချက် စည်းမျဉ်း- \(h(x) = f(x) \pm g(x) \textrm{ ထို့နောက် } h\prime(x) = f\prime(x) \pm g\prime(x)\)
  • ထုတ်ကုန်စည်းမျဉ်း- \(h(x) = f(x)g(x) \textrm{ ထို့နောက် } h\prime(x) = f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)\)
  • Quotient Rule- \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \textrm{ ထို့နောက် } h\prime(x) = \frac{ f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)}{g(x)^2}\)
  • ကွင်းဆက်စည်းမျဉ်း- \(h(x) = f(g(x)) \textrm{ ထို့နောက် } h\prime(x) = f\prime(g(x))g\prime(x)\)

မှတ်ချက်- အမှတ်တစ်ခုရှိ တန်းဂျင့်မျဉ်း၏ လျှောစောက်သည် ထိုအမှတ်တွင် ၎င်း၏ဆင်းသက်လာခြင်းဖြစ်သည်။ အမှတ် (x 0 , y 0 ) တွင် မျဉ်းကွေး y = f(x) ကို ရေးဆွဲပါက ၎င်း၏ slope (m) ကို function ၏ ဆင်းသက်လာသော အမှတ်ကို အစားထိုးခြင်းဖြင့် ရရှိသည်။

ဥပမာ 4- 10x 5

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(10x^5)}{dx}\)

\(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\) (ပါဝါစည်းမျဉ်းကို ကျင့်သုံးခြင်း)

ဥပမာ 5- tan 2 x ကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ပါ

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(tan^2x)}{dx}\)

\(2\tan x^{2-1} \times \frac{d(\tan x)}{dx}\) (ကွင်းဆက်စည်းမျဉ်းကို ကျင့်သုံးနေသည်)

\(2\tan x⋅ \sec ^2 x\)

Download Primer to continue