Primer lesson: व्युत्पन्न

एक व्युत्पन्न स्वतन्त्र चर मा परिवर्तन गर्न प्रकार्य को मान मा परिवर्तन को अनुपात हो।
कुनै बिन्दुमा फंक्शनको व्युत्पन्नहरूले त्यस बिन्दुमा प्रकार्यको परिवर्तनको दरलाई जनाउँछ। परिवर्तनको दरलाई प्रकार्य \(\Delta y\) को स्वतन्त्र चरको परिवर्तनमा परिवर्तनको दरले गणना गर्न सकिन्छ \(\Delta x\) , यो अनुपातलाई सीमामा \(\Delta x \to 0\) को रूपमा मानिन्छ। \(\Delta x \to 0\) । प्रकार्य f(x) को व्युत्पन्नले यसको परिवर्तनको दरलाई प्रतिनिधित्व गर्दछ र \(f\prime(x) \) वा df ∕ dx द्वारा जनाइएको छ।

पहिले यसको परिभाषा र व्युत्पन्नको चित्रात्मक दृष्टान्त हेरौं।

f को व्युत्पन्न f को परिवर्तनको दर हो। माथिको वक्रको ग्राफ हेर्नुहोस्। यसले f(x) को दुई अंक x र \(x + \Delta x \) मा क्रमशः f(x) र \(f(x + \Delta x)\) को मान प्रतिनिधित्व गर्दछ। तपाईंले यी दुई बिन्दुहरू बीचको अन्तराललाई यो असीम रूपमा सानो नभएसम्म सानो बनाउनुहुँदा, हामीसँग सीमा छ \(\Delta x \to 0\) ।

\(f\prime(x) = \frac{df }{dx} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x}\)

अंक \(f(x + \Delta x) - f(x)\) अन्तराल \(\Delta x\) मा प्रकार्य f को मानमा भएको परिवर्तनलाई प्रतिनिधित्व गर्दछ। यसले बिन्दु x मा प्रकार्य f को व्युत्पन्न बनाउँछ, त्यो बिन्दुमा f को परिवर्तनको दर।

बिन्दु x मा प्रकार्य f(x) को व्युत्पन्न पत्ता लगाउने चरणहरू छन्:

1. फरक भागफल बनाउनुहोस् \(\frac{dy }{dx} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
2. जहाँ सम्भव छ रद्द गर्दै, भागफल सरल बनाउनुहोस्।
3. व्युत्पन्न पत्ता लगाउनुहोस् \(f\prime(x)\) , भागफलमा सीमा लागू गर्दै। यदि यो सीमा अवस्थित छ भने, हामी भन्छौं कि प्रकार्य f(x) x मा भिन्नता छ।

केही कार्यहरूका लागि डेरिभेटिभहरू निकाल्ने प्रयास गरौं

उदाहरण 1 : प्रकार्य y = x को व्युत्पन्न गणना गर्नुहोस्

\(y\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}1=1\)

उदाहरण २: प्रकार्य f(x) = 5x + 2 को व्युत्पन्न पत्ता लगाउनुहोस्

यो प्रकार्य 5x + 2 को प्लटिङ हो

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = [5(x+\Delta x) +2] - [5x +2] = 5x + 5\Delta x + 2 - 5x - 2 = 5\Delta x\)

भिन्नता अनुपात \(\frac{5\Delta x}{\Delta x}\) = 5 हो

\(\therefore\textrm{ व्युत्पन्न } f\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}5 = 5\)

उदाहरण ३: द्विघात समीकरण f(x) = x ² को व्युत्पन्न पत्ता लगाउनुहोस्। ग्राफ प्रयोग गरौं र डेरिभेटिभहरूलाई राम्रो तरिकाले बुझौं।

f(x) = x ²

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = (x+\Delta x)^2 - x^2\)

\(\Delta y = x^2 + 2x\Delta x +\Delta x^2-x^2 = \Delta x(2x+\Delta x)\)

x ² को व्युत्पन्न 2x हो। यसको अर्थ हो कि प्रकार्य x ² को लागि, कुनै पनि बिन्दुमा परिवर्तनको दर 2x हो।

x = 2 मा f को परिवर्तनको दर x = 2 मा \(f\prime(x)\) को मान हो, अर्थात \(f\prime (x) = 4\)

सामान्य कार्यहरूको व्युत्पन्न

सामान्य प्रकार्य	प्रकार्य	व्युत्पन्न
स्थिर	c	0
रेखा	x	1
	ax	a
स्क्वायर	x ²	2x
स्क्वायर रूट	\(\sqrt x\)	\(\frac{1}{2}x^{-1/2}\)
एक्सपोनेन्शियल	e ^x	e ^x
Logarithms	\(\log_a(x)\)	1/(x In(a))
त्रिकोणमिति(x in radians)	\(\sin(x)\)	\(\cos(x) \)
	\(\cos(x)\)	\(-\sin(x)\)
	\(\tan(x)\)	\(\sec^2(x)\)

यहाँ धेरै प्रकार्यहरूको डेरिभेटिभहरू काम गर्न मद्दत गर्न उपयोगी नियमहरू छन्:

स्थिर नियम: f(x) = c त्यसपछि \(f\prime(x) = 0\)
Constant Multiple Rule: \(g(x) = c \cdot f(x) \textrm{ त्यसपछि } g\prime(x) = c \cdot f\prime(x)\)
पावर नियम: \( f(x) = x^n \textrm{ त्यसपछि } f\prime(x) = nx^{n-1}\)
योग र भिन्नता नियम: \(h(x) = f(x) \pm g(x) \textrm{ त्यसपछि } h\prime(x) = f\prime(x) \pm g\prime(x)\)
उत्पादन नियम \(h(x) = f(x)g(x) \textrm{ त्यसपछि } h\prime(x) = f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)\)
भागफल नियम: \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \textrm{ त्यसपछि } h\prime(x) = \frac{ f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)}{g(x)^2}\)
चेन नियम: \(h(x) = f(g(x)) \textrm{ त्यसपछि } h\prime(x) = f\prime(g(x))g\prime(x)\)

नोट: बिन्दुमा स्पर्श रेखाको ढलान त्यो बिन्दुमा यसको व्युत्पन्न हो। यदि कुनै बिन्दु (x ₀ , y ₀ ) मा वक्र y = f(x) को लागि स्पर्शरेखा रेखा कोरिएको छ भने, त्यसको ढलान (m) केवल प्रकार्यको व्युत्पन्नमा बिन्दुलाई प्रतिस्थापन गरेर प्राप्त गरिन्छ।

उदाहरण 4: 10x ⁵ फरक गर्नुहोस्

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(10x^5)}{dx}\)

\(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\) (शक्ति नियम लागू गर्दै)

उदाहरण 5: ट्यान ² x

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(tan^2x)}{dx}\)

\(2\tan x^{2-1} \times \frac{d(\tan x)}{dx}\) (चेन नियम लागू गर्दै)

\(2\tan x⋅ \sec ^2 x\)

व्युत्पन्न

Download Primer to continue