Back to the topics list
Google Play badge

derivaten

Een afgeleide is de verhouding tussen de verandering in de waarde van de functie en de verandering in de onafhankelijke variabele.
Afgeleiden van een functie op een bepaald punt geven de snelheid van verandering van een functie op dat punt aan. De snelheid van verandering kan worden berekend door de snelheid van verandering van de functie \(\Delta y\) naar de verandering van de onafhankelijke variabele \(\Delta x\) . Deze verhouding wordt in limiet beschouwd als \(\Delta x \to 0\) . de afgeleide van een functie f(x) vertegenwoordigt de veranderingssnelheid en wordt aangegeven met \(f\prime(x) \) of df ∕ dx

Laten we eerst kijken naar de definitie ervan en een grafische illustratie van de afgeleide.

Afgeleide van f is de veranderingssnelheid van f. Kijk naar de grafiek van een curve hierboven. Het vertegenwoordigt de waarde van f(x) op twee punten x en \(x + \Delta x \) , respectievelijk als f(x) en \(f(x + \Delta x)\) . Als je het interval tussen deze twee punten kleiner maakt totdat het oneindig klein is, hebben we een limiet \(\Delta x \to 0\) .


\(f\prime(x) = \frac{df }{dx} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x}\)

De teller \(f(x + \Delta x) - f(x)\) vertegenwoordigt de overeenkomstige verandering in de waarde van de functie f over het interval \(\Delta x\) . Dit maakt de afgeleide van een functie f op een punt x, de veranderingssnelheid van f op dat punt.

Stappen om de afgeleide van de functie f(x) op punt x te vinden zijn:

1. Vorm het verschilquotiënt \(\frac{dy }{dx} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
2. Vereenvoudig het quotiënt en annuleer waar mogelijk.
3. Vind de afgeleide \(f\prime(x)\) en pas de limiet toe op het quotiënt. Als deze limiet bestaat, zeggen we dat de functie f(x) differentieerbaar is op x.

Laten we proberen de afgeleiden voor een paar functies af te leiden

Voorbeeld 1 : Bereken de afgeleide van de functie y = x

\(y\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}1=1\)


Voorbeeld 2: Vind de afgeleide van de functie f(x) = 5x + 2

dit is de plot van functie 5x + 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = [5(x+\Delta x) +2] - [5x +2] = 5x + 5\Delta x + 2 - 5x - 2 = 5\Delta x\)

De verschilverhouding is \(\frac{5\Delta x}{\Delta x}\) = 5

\(\therefore\textrm{ Derivaat } f\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}5 = 5\)

Voorbeeld 3: Vind de afgeleide van kwadratische vergelijking f(x) = x 2 . Laten we de grafiek gebruiken en afgeleiden op een betere manier begrijpen.

f(x) = x2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = (x+\Delta x)^2 - x^2\)

\(\Delta y = x^2 + 2x\Delta x +\Delta x^2-x^2 = \Delta x(2x+\Delta x)\)

De afgeleide van x 2 is 2x. Het betekent dat voor de functie x 2 de veranderingssnelheid op elk punt 2x is.

de veranderingssnelheid van f bij x = 2 is de waarde van \(f\prime(x)\) bij x = 2, dat wil zeggen \(f\prime (x) = 4\)

Afgeleiden van gemeenschappelijke functies

Gemeenschappelijke functiefunctie Afgeleide
constante c 0
Lijn x 1
  ax a
Kwadraat x 2 2x
Vierkantswortel \(\sqrt x\) \(\frac{1}{2}x^{-1/2}\)
Exponentiële e x e x
Logaritmen \(\log_a(x)\) 1/(x In(a))
Trigonometrie(x in radialen) \(\sin(x)\) \(\cos(x) \)
  \(\cos(x)\) \(-\sin(x)\)
  \(\tan(x)\)

\(\sec^2(x)\)

Hier zijn handige regels om u te helpen de afgeleiden van veel functies te berekenen:

  • Constante regel: f(x) = c en vervolgens \(f\prime(x) = 0\)
  • Constante meervoudige regel: \(g(x) = c \cdot f(x) \textrm{ Dan } g\prime(x) = c \cdot f\prime(x)\)
  • Machtsregel: \( f(x) = x^n \textrm{ Dan } f\prime(x) = nx^{n-1}\)
  • Som- en verschilregel: \(h(x) = f(x) \pm g(x) \textrm{ Dan } h\prime(x) = f\prime(x) \pm g\prime(x)\)
  • Productregel: \(h(x) = f(x)g(x) \textrm{ Dan } h\prime(x) = f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)\)
  • Quotiëntregel: \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \textrm{ Dan } h\prime(x) = \frac{ f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)}{g(x)^2}\)
  • Ketenregel: \(h(x) = f(g(x)) \textrm{ Dan } h\prime(x) = f\prime(g(x))g\prime(x)\)

Opmerking: de helling van een raaklijn in een punt is de afgeleide ervan op dat punt. Als een raaklijn wordt getekend voor een kromme y = f(x) in een punt (x 0 , y 0 ), dan wordt de helling (m) ervan verkregen door eenvoudigweg het punt in de afgeleide van de functie te vervangen.

Voorbeeld 4: Differentieer 10x 5

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(10x^5)}{dx}\)

\(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\) (machtsregel toepassen)

Voorbeeld 5: Differentieer tan 2 x

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(tan^2x)}{dx}\)

\(2\tan x^{2-1} \times \frac{d(\tan x)}{dx}\) (ketenregel toepassen)

\(2\tan x⋅ \sec ^2 x\)

Download Primer to continue