Back to the topics list
Google Play badge

pochodne

Pochodna to stosunek zmiany wartości funkcji do zmiany zmiennej niezależnej.
Pochodne funkcji w pewnym punkcie oznaczają szybkość zmian funkcji w tym punkcie. Szybkość zmian można obliczyć ze szybkości zmiany funkcji \(\Delta y\) do zmiany zmiennej niezależnej \(\Delta x\) , stosunek ten jest uważany w granicy jako \(\Delta x \to 0\) . pochodna funkcji f(x) reprezentuje szybkość jej zmian i jest oznaczona albo przez \(f\prime(x) \) albo df ∕ dx

Przyjrzyjmy się najpierw jego definicji i obrazowej ilustracji pochodnej.

Pochodna f jest szybkością zmian f. Spójrz na wykres krzywej powyżej. Reprezentuje wartość f(x) w dwóch punktach x i \(x + \Delta x \) , odpowiednio jako f(x) i \(f(x + \Delta x)\) . W miarę zmniejszania odstępu między tymi dwoma punktami, aż będzie nieskończenie mały, otrzymamy granicę \(\Delta x \to 0\) .


\(f\prime(x) = \frac{df }{dx} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x}\)

Licznik \(f(x + \Delta x) - f(x)\) reprezentuje odpowiednią zmianę wartości funkcji f w przedziale \(\Delta x\) . To daje pochodną funkcji f w punkcie x, szybkość zmiany f w tym punkcie.

Kroki, aby znaleźć pochodną funkcji f(x) w punkcie x to:

1. Utwórz iloraz różnicy \(\frac{dy }{dx} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
2. Uprość iloraz, unieważniając, jeśli to możliwe.
3. Znajdź pochodną \(f\prime(x)\) , stosując granicę do ilorazu. Jeżeli ta granica istnieje, to mówimy, że funkcja f(x) jest różniczkowalna w x.

Spróbujmy wyprowadzić pochodne dla kilku funkcji

Przykład 1 : Oblicz pochodną funkcji y = x

\(y\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}1=1\)


Przykład 2: Znajdź pochodną funkcji f(x) = 5x + 2

to jest wykres funkcji 5x + 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = [5(x+\Delta x) +2] - [5x +2] = 5x + 5\Delta x + 2 - 5x - 2 = 5\Delta x\)

Stosunek różnicy wynosi \(\frac{5\Delta x}{\Delta x}\) = 5

\(\therefore\textrm{ Pochodna } f\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}5 = 5\)

Przykład 3: Znajdź pochodną równania kwadratowego f(x) = x 2 . Wykorzystajmy wykres i lepiej poznajmy instrumenty pochodne.

f(x) = x 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = (x+\Delta x)^2 - x^2\)

\(\Delta y = x^2 + 2x\Delta x +\Delta x^2-x^2 = \Delta x(2x+\Delta x)\)

Pochodna x 2 wynosi 2x. Oznacza to, że dla funkcji x 2 szybkość zmian w dowolnym punkcie wynosi 2x.

tempo zmian f przy x = 2 jest wartością \(f\prime(x)\) przy x = 2, tj. \(f\prime (x) = 4\)

Pochodne funkcji wspólnych

Funkcja wspólnej funkcji Pochodna
Stała c 0
Linia x 1
  ax a
Kwadrat x 2 2x
Pierwiastek kwadratowy \(\sqrt x\) \(\frac{1}{2}x^{-1/2}\)
Wykładniczy e x e x
Logarytmy \(\log_a(x)\) 1/(x In(a))
Trygonometria(x w radianach) \(\sin(x)\) \(\cos(x) \)
  \(\cos(x)\) \(-\sin(x)\)
  \(\tan(x)\)

\(\sec^2(x)\)

Oto przydatne reguły , które pomogą Ci obliczyć pochodne wielu funkcji:

  • Reguła stałych: f(x) = c następnie \(f\prime(x) = 0\)
  • Stała reguła wielokrotności: \(g(x) = c \cdot f(x) \textrm{ Następnie } g\prime(x) = c \cdot f\prime(x)\)
  • Reguła potęgi: \( f(x) = x^n \textrm{ Następnie } f\prime(x) = nx^{n-1}\)
  • Reguła sumy i różnicy \(h(x) = f(x) \pm g(x) \textrm{ Następnie } h\prime(x) = f\prime(x) \pm g\prime(x)\)
  • Reguła iloczynu: \(h(x) = f(x)g(x) \textrm{ Następnie } h\prime(x) = f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)\)
  • Reguła ilorazu: \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \textrm{ Następnie } h\prime(x) = \frac{ f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)}{g(x)^2}\)
  • Reguła łańcucha: \(h(x) = f(g(x)) \textrm{ Następnie } h\prime(x) = f\prime(g(x))g\prime(x)\)

Uwaga: Nachylenie stycznej w punkcie jest jej pochodną w tym punkcie. Jeżeli dla krzywej y = f(x) w punkcie (x 0 , y 0 ) zostanie narysowana styczna, to jej nachylenie (m) oblicza się po prostu podstawiając ten punkt do pochodnej funkcji.

Przykład 4: Różniczkowanie 10x 5

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(10x^5)}{dx}\)

\(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\) (stosując regułę potęgi)

Przykład 5: Różniczkowanie tan 2 x

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(tan^2x)}{dx}\)

\(2\tan x^{2-1} \times \frac{d(\tan x)}{dx}\) (stosując regułę łańcucha)

\(2\tan x⋅ \sec ^2 x\)

Download Primer to continue