Back to the topics list
Google Play badge

derivados

Uma derivada é uma razão entre a mudança no valor da função e a mudança na variável independente.
As derivadas de uma função em algum ponto denotam a taxa de variação de uma função naquele ponto. A taxa de mudança pode ser calculada pela taxa de mudança da função \(\Delta y\) para a mudança da variável independente \(\Delta x\) , esta razão é considerada no limite como \(\Delta x \to 0\) . a derivada de uma função f(x) representa sua taxa de variação e é denotada por \(f\prime(x) \) ou df ∕ dx

Vejamos primeiro sua definição e uma ilustração pictórica da derivada.

A derivada de f é a taxa de variação de f. Observe o gráfico de uma curva acima. Representa o valor de f(x) em dois pontos x e \(x + \Delta x \) , como f(x) e \(f(x + \Delta x)\) respectivamente. À medida que você diminui o intervalo entre esses dois pontos até que seja infinitamente pequeno, temos um limite \(\Delta x \to 0\) .


\(f\prime(x) = \frac{df }{dx} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x}\)

O numerador \(f(x + \Delta x) - f(x)\) representa a mudança correspondente no valor da função f ao longo do intervalo \(\Delta x\) . Isso faz com que a derivada de uma função f em um ponto x seja a taxa de variação de f naquele ponto.

As etapas para encontrar a derivada da função f(x) no ponto x são:

1. Forme o quociente de diferença \(\frac{dy }{dx} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
2. Simplifique o quociente, cancelando sempre que possível.
3. Encontre a derivada \(f\prime(x)\) , aplicando o limite ao quociente. Se este limite existir, então dizemos que a função f(x) é diferenciável em x.

Vamos tentar derivar as derivadas para algumas funções

Exemplo 1 : Calcule a derivada da função y = x

\(y\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}1=1\)


Exemplo 2: Encontre a derivada da função f(x) = 5x + 2

esta é a plotagem da função 5x + 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = [5(x+\Delta x) +2] - [5x +2] = 5x + 5\Delta x + 2 - 5x - 2 = 5\Delta x\)

A razão da diferença é \(\frac{5\Delta x}{\Delta x}\) = 5

\(\therefore\textrm{ Derivado } f\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}5 = 5\)

Exemplo 3: Encontre a derivada da equação quadrática f(x) = x 2 . Vamos usar o gráfico e entender melhor as derivadas.

f(x) = x2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = (x+\Delta x)^2 - x^2\)

\(\Delta y = x^2 + 2x\Delta x +\Delta x^2-x^2 = \Delta x(2x+\Delta x)\)

A derivada de x 2 é 2x. Isso significa que para a função x 2 , a taxa de variação em qualquer ponto é 2x.

a taxa de variação de f em x = 2 é o valor de \(f\prime(x)\) em x = 2, ou seja \(f\prime (x) = 4\)

Derivadas de funções comuns

Função comum função Derivada
Constante c 0
Linha x 1
  machado a
Quadrado x 2 2x
Raiz quadrada \(\sqrt x\) \(\frac{1}{2}x^{-1/2}\)
Exponencial e x e x
Logaritmos \(\log_a(x)\) 1/(x In(a))
Trigonometria(x em radianos) \(\sin(x)\) \(\cos(x) \)
  \(\cos(x)\) \(-\sin(x)\)
  \(\tan(x)\)

\(\sec^2(x)\)

Aqui estão regras úteis para ajudá-lo a calcular as derivadas de muitas funções:

  • Regra da Constante: f(x) = c então \(f\prime(x) = 0\)
  • Regra da Constante Múltipla: \(g(x) = c \cdot f(x) \textrm{ então } g\prime(x) = c \cdot f\prime(x)\)
  • Regra da potência: \( f(x) = x^n \textrm{ então } f\prime(x) = nx^{n-1}\)
  • Regra de Soma e Diferença \(h(x) = f(x) \pm g(x) \textrm{ então } h\prime(x) = f\prime(x) \pm g\prime(x)\)
  • Regra do produto \(h(x) = f(x)g(x) \textrm{ então } h\prime(x) = f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)\)
  • Regra do Quociente: \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \textrm{ então } h\prime(x) = \frac{ f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)}{g(x)^2}\)
  • Regra da Cadeia: \(h(x) = f(g(x)) \textrm{ então } h\prime(x) = f\prime(g(x))g\prime(x)\)

Nota: A inclinação de uma reta tangente num ponto é a sua derivada nesse ponto. Se uma linha tangente for desenhada para uma curva y = f(x) em um ponto (x 0 , y 0 ), então sua inclinação (m) é obtida simplesmente substituindo o ponto na derivada da função.

Exemplo 4: Diferencie 10x 5

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(10x^5)}{dx}\)

\(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\) (aplicando regra de potência)

Exemplo 5: Diferencie tan 2 x

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(tan^2x)}{dx}\)

\(2\tan x^{2-1} \times \frac{d(\tan x)}{dx}\) (aplicando regra da cadeia)

\(2\tan x⋅ \sec ^2 x\)

Download Primer to continue