Back to the topics list
Google Play badge

производные

Производная – это отношение изменения значения функции к изменению независимой переменной.
Производные функции в некоторой точке обозначают скорость изменения функции в этой точке. Скорость изменения можно рассчитать по скорости изменения функции \(\Delta y\) на изменение независимой переменной \(\Delta x\) , это соотношение в пределе рассматривается как \(\Delta x \to 0\) . производная функции f(x) представляет скорость ее изменения и обозначается либо \(f\prime(x) \) либо df ∕ dx

Давайте сначала посмотрим на его определение и наглядную иллюстрацию производной.

Производная f — это скорость изменения f. Посмотрите на график кривой выше. Он представляет значение f(x) в двух точках x и \(x + \Delta x \) как f(x) и \(f(x + \Delta x)\) соответственно. Когда вы уменьшаете интервал между этими двумя точками до тех пор, пока он не станет бесконечно малым, у нас появится предел \(\Delta x \to 0\) .


\(f\prime(x) = \frac{df }{dx} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x}\)

Числитель \(f(x + \Delta x) - f(x)\) представляет соответствующее изменение значения функции f на интервале \(\Delta x\) . Это делает производную функции f в точке x скоростью изменения f в этой точке.

Шаги по нахождению производной функции f(x) в точке x:

1. Формируем разностный коэффициент \(\frac{dy }{dx} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
2. Упростите частное, сокращая его там, где это возможно.
3. Найдите производную \(f\prime(x)\) , применив предел к частному. Если этот предел существует, то мы говорим, что функция f(x) дифференцируема в точке x.

Попробуем вывести производные некоторых функций.

Пример 1 : Вычисление производной функции y = x

\(y\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}1=1\)


Пример 2. Найдите производную функции f(x) = 5x + 2.

это график функции 5x + 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = [5(x+\Delta x) +2] - [5x +2] = 5x + 5\Delta x + 2 - 5x - 2 = 5\Delta x\)

Коэффициент разности равен \(\frac{5\Delta x}{\Delta x}\) = 5.

\(\therefore\textrm{ Производная } f\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}5 = 5\)

Пример 3: Найдите производную квадратного уравнения f(x) = x 2 . Давайте воспользуемся графиком и лучше поймем производные.

е(х) = х 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = (x+\Delta x)^2 - x^2\)

\(\Delta y = x^2 + 2x\Delta x +\Delta x^2-x^2 = \Delta x(2x+\Delta x)\)

Производная x 2 равна 2x. Это означает, что для функции x 2 скорость изменения в любой точке равна 2x.

скорость изменения f при x = 2 равна значению \(f\prime(x)\) при x = 2, т.е. \(f\prime (x) = 4\)

Производные общих функций

Общая функция Функция Производная
Константа c 0
Строка x 1
  ax a
Квадрат x 2 2x
Квадратный корень \(\sqrt x\) \(\frac{1}{2}x^{-1/2}\)
Экспонента e x e x
Логарифмы \(\log_a(x)\) 1/(x In(a))
Тригонометрия(x в радианах) \(\sin(x)\) \(\cos(x) \)
  \(\cos(x)\) \(-\sin(x)\)
  \(\tan(x)\)

\(\sec^2(x)\)

Вот полезные правила , которые помогут вам вычислить производные многих функций:

  • Правило констант: f(x) = c then \(f\prime(x) = 0\)
  • Правило констант множественности: \(g(x) = c \cdot f(x) \textrm{ затем } g\prime(x) = c \cdot f\prime(x)\)
  • Правило мощности: \( f(x) = x^n \textrm{ затем } f\prime(x) = nx^{n-1}\)
  • Правило суммы и разности: \(h(x) = f(x) \pm g(x) \textrm{ затем } h\prime(x) = f\prime(x) \pm g\prime(x)\)
  • Правило произведения: \(h(x) = f(x)g(x) \textrm{ затем } h\prime(x) = f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)\)
  • Правило частного: \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \textrm{ затем } h\prime(x) = \frac{ f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)}{g(x)^2}\)
  • Цепное правило: \(h(x) = f(g(x)) \textrm{ затем } h\prime(x) = f\prime(g(x))g\prime(x)\)

Примечание. Наклон касательной в точке является ее производной в этой точке. Если к кривой y = f(x) провести касательную в точке (x 0 , y 0 ), то ее наклон (m) получается простой подстановкой точки в производную функции.

Пример 4: Дифференцируем 10x 5

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(10x^5)}{dx}\)

\(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\) (применяя степенное правило)

Пример 5: Дифференцируем tan 2 x

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(tan^2x)}{dx}\)

\(2\tan x^{2-1} \times \frac{d(\tan x)}{dx}\) (применяя правило цепочки)

\(2\tan x⋅ \sec ^2 x\)

Download Primer to continue